Esercizio calcolo integrale 33
Devo risolvere l'intelgrale
$$ \int \frac{e^{2x}}{3-e^x} dx $$
Riscrivo la funzione integranda in questa forma equivalente usando le proprietà delle potenze
$$ \int{ \frac{e^x \cdot e^x}{3-e^x} \ dx } =$$
$$ \int{ \frac{e^x}{3-e^x} \cdot e^x \ dx } =$$
Poi utilizzo il metodo di integrazione per sostituzione
Assegno alla variabile temporanea u il valore ex
$$ u = e^x $$
Calcolo il differenziale di entrambi i membri, in altre parole derivo il primo membro rispetto a u e il secondo membro rispetto a x
$$ 1 \ du = e^x \ dx $$
Sostituisco ex dx = du nell'integrale
$$ \int{ \frac{e^x}{3-e^x} \cdot e^x \ dx } $$
$$ \int{ \frac{e^x}{3-e^x} \ du } $$
Poi sostituisco u = ex nell'integrale
$$ \int{ \frac{u}{3-u} \ du } $$
Riscrivo l'integrale in questa forma equivalente
$$ - \int{ \frac{-u}{3-u} \ du } $$
Sommo e sottraggo 3 al numeratore della funzione integranda
$$ - \int{ \frac{-u+3-3}{3-u} \ du } $$
$$ - \int{ \frac{-3}{3-u} + \frac{3-u}{3-u} \ du } $$
$$ - [ \ \int{ \frac{-3}{3-u} } \ du + \int { \frac{3-u}{3-u} \ du } \ ] $$
$$ - [ \ -3 \ \int{ \frac{1}{3-u} } \ du + \int { 1 \ du } \ ] $$
Il secondo integrale è un integrale elementare ∫du = u+c
$$ - [ \ -3 \int{ \frac{1}{3-u} } \ du + u + c \ ] $$
Risolvo l'ultimo integrale per sostituzione considerando t=3-u
$$ - [ \ -3 \int{ \frac{1}{t} } \ du + u + c \ ] $$
Il differenziale di t=3-u è 1 dt = - 1 du
Sostituisco du=-dt nell'integrale
$$ - [ \ -3 \int{ \frac{1}{t} } \ \cdot (-1) \ dt + u + c \ ] $$
$$ - [ \ -3 \cdot (-1) \int{ \frac{1}{t} } \ dt + u + c \ ] $$
$$ - [ \ 3 \int{ \frac{1}{t} } \ dt + u + c \ ] $$
Ora l'integrale è immediato ∫1/t dt = log |t| + c
$$ - [ \ 3 \log |t| + u + c \ ] $$
Sapendo che t=3-u
$$ - [ \ 3 \log |3-u| + u + c \ ] $$
$$ - 3 \log |3-u| - u + c $$
La costante c può assumere qualsiasi valore reale. Quindi posso mantenere il segno +c.
Sapendo che la varabile temporanea è u=ex
$$ - 3 \log |3-e^x| - e^x + c $$
Il risultato è la soluzione dell'integrale
E così via.
