Esercizio calcolo integrale 33

Devo risolvere l'intelgrale

$$ \int \frac{e^{2x}}{3-e^x} dx $$

Riscrivo la funzione integranda in questa forma equivalente usando le proprietà delle potenze

$$ \int{ \frac{e^x \cdot e^x}{3-e^x} \ dx } =$$

$$ \int{ \frac{e^x}{3-e^x} \cdot e^x \ dx } =$$

Poi utilizzo il metodo di integrazione per sostituzione

Assegno alla variabile temporanea u il valore ex

$$ u = e^x $$

Derivo il primo membro per du e il secondo membro per dx

$$ 1 \ du = e^x \ dx $$

Sostituisco ex dx = du nell'integrale

$$ \int{ \frac{e^x}{3-e^x} \cdot e^x \ dx } $$

$$ \int{ \frac{e^x}{3-e^x} \ du } $$

Poi sostituisco u = ex nell'integrale

$$ \int{ \frac{u}{3-u} \ du } $$

Riscrivo l'integrale in questa forma equivalente

$$ - \int{ \frac{-u}{3-u} \ du } $$

Sommo e sottraggo 3 al numeratore della funzione integranda

$$ - \int{ \frac{-u+3-3}{3-u} \ du } $$

$$ - \int{ \frac{-3}{3-u} + \frac{3-u}{3-u} \ du } $$

$$ - [ \ \int{ \frac{-3}{3-u} } \ du + \int { \frac{3-u}{3-u} \ du } \ ] $$

$$ - [ \ -3 \ \int{ \frac{1}{3-u} } \ du + \int { 1 \ du } \ ] $$

Il secondo integrale è un integrale elementare ∫du = u+c

$$ - [ \ -3 \int{ \frac{1}{3-u} } \ du + u + c \ ] $$

Risolvo l'ultimo integrale per sostituzione considerando t=3-u

$$ - [ \ -3 \int{ \frac{1}{t} } \ du + u + c \ ] $$

Il differenziale di t=3-u è 1 dt = - 1 du

Sostituisco du=-dt nell'integrale

$$ - [ \ -3 \int{ \frac{1}{t} } \ \cdot (-1) \ dt + u + c \ ] $$

$$ - [ \ -3 \cdot (-1) \int{ \frac{1}{t} } \ dt + u + c \ ] $$

$$ - [ \ 3 \int{ \frac{1}{t} } \ dt + u + c \ ] $$

Ora l'integrale è immediato ∫1/t dt = log |t| + c

$$ - [ \ 3 \log |t| + u + c \ ] $$

Sapendo che t=3-u

$$ - [ \ 3 \log |3-u| + u + c \ ] $$

$$ - 3 \log |3-u| - u + c $$

La costante c può assumere qualsiasi valore reale. Quindi posso mantenere il segno +c.

Sapendo che la varabile temporanea è u=ex

$$ - 3 \log |3-e^x| - e^x + c $$

Il risultato è la soluzione dell'integrale

E così via.

 


 

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