Esercizio calcolo integrale 32
Provo a risolvere questo integrale
$$ \int \frac{1}{\tan^3(x)} \ dx $$
Sapendo che la tangente è il rapporto tra il seno e il coseno, tan=sin/cos , riscrivo l'integrale in questa forma equivalente.
$$ \int \frac{1}{ \frac{\sin^3(x)}{\cos^3(x)} } \ dx $$
Applico la proprietà delle frazioni e moltiplico il numeratore e il denominatore per cos3(x)/sin3(x)
$$ \int \frac{1}{ \frac{\sin^3(x)}{\cos^3(x)} } \cdot \frac{ \frac{\cos^3(x)}{\sin^3(x)} }{ \frac{\cos^3(x)}{\sin^3(x)} } \ dx $$
Poi semplifico
$$ \int \frac{\cos^3(x)}{\sin^3(x)} \ dx $$
Per la proprietà fondamentale della trigonometria cos2+sin2=1
Quindi, cos2 = 1 - sin2
$$ \int \frac{\cos^2(x) \cdot \cos(x)}{\sin^3(x)} \ dx $$
$$ \int \frac{[1-\sin^2(x)] \cdot \cos(x)}{\sin^3(x)} \ dx $$
Introduco una variabile temporanea u = sin(x)
$$ u = \sin(x) $$
Calcolo il differenziale
$$ du = \cos(x) \ dx $$
A questo punto sostituisco u=sin(x) nell'integrale
$$ \int \frac{(1-u^2) \cdot \cos(x)}{u^3} \ dx $$
$$ \int \frac{(1-u^2) }{u^3} \cdot \cos(x) \ dx $$
Poi sostituisco du=cos(x) dx
$$ \int \frac{(1-u^2) }{u^3} \ du $$
Trasformo l'integrale in una somma di integrali.
$$ \int \frac{1 }{u^3} - \frac{u^2}{u^3} \ du $$
$$ \int \frac{1 }{u^3} - \frac{1}{u} \ du $$
$$ \int \frac{1 }{u^3} \ du - \int \frac{1}{u} \ du $$
$$ \int u^{-3} \ du - \int \frac{1}{u} \ du $$
Il secondo integrale è il logaritmo naturale di u ossia ∫1/u = log |u| + c
$$ \int u^{-3} \ du - \log | u | + c $$
Il primo integrale è l'integrale di una potenza ∫u-3 = u-2/(-2) + c
$$ \frac{u^{-2}}{-2} - \log | u | + c $$
$$ - \frac{1}{2u^2} - \log | u | + c $$
Infine sostituisco u=sin(x)
$$ - \frac{1}{2 \sin^2(x)} - \log | \sin(x) | + c $$
Questa è la soluzione dell'integrale.
E così via.
