Esercizio calcolo integrale 30

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \frac{1}{1+e^{3x}} \ dx $$

Moltiplico e divido l'integrale per e^-3x

$$ \int \frac{1}{1+e^{3x}} \cdot \frac{e^{-3x}}{e^{-3x}} \ dx $$

$$ \int \frac{1}{(1+e^{3x}) \cdot e^{-3x}} \cdot e^{-3x} \ dx $$

$$ \int \frac{1}{1 \cdot e^{-3x} +e^{3x} \cdot e^{-3x}}   \cdot e^{-3x} \ dx $$

$$ \int \frac{1}{e^{-3x}+1} \cdot e^{-3x} \ dx $$

Introduco una variabile temporanea u=e^-3x+1

$$ u = e^{-3x}+1 $$

Calcolo il differenziale

$$ du = -3e^{-3x} \ dx $$

$$ \frac{du}{-3} = e^{-3x} \ dx $$

Quindi sostituisco u=e^-3x+1 nell'integrale

$$ \int \frac{1}{u} \cdot e^{-3x} \ dx $$

Poi sostituisco -du/3=e^-3x dx

$$ \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{-3} \ $$

$$ - \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{u} \ du $$

$$ - \frac{1}{3} \cdot \ln | u | + c $$

Sapendo che u=e^-3x+1

$$ - \frac{1}{3} \cdot \ln | e^{-3x}+1 | + c $$

E così via.