Esercizio calcolo integrale 26

Devo risolvere l'integrale

$$\int \cot (ax+b) \ dx$$

Utilizzo il metodo del differenziale introducendo la variabile ausiliaria u=ax+b

$$u = ax+b$$

Calcolo il differenziale

$$du = a \ dx$$

Esplicito dx

$$dx = \frac{1}{a} \ du$$

Sostituisco dx=1/a du nell'integrale

$$\int \cot (ax+b) \cdot \frac{1}{a} \ du$$

Sostituisco u=ax-b nell'integrale

$$\int \cot (u) \cdot \frac{1}{a} \ du$$

Il fattore 1/a è una costante. Quindi può uscire dall'integrale.

$$\frac{1}{a} \cdot \int \cot (u) \ du$$

La cotangente è uguale al rapporto tra coseno e seno ossia cot(u)=cos(u)/sin(u)

$$\frac{1}{a} \cdot \int \frac{\cos(u)}{\sin(u)} \ du$$

Introduco una seconda variabile ausiliaria t=sin(u)

$$t = \sin(u)$$

$$dt = \cos(u) \ du$$

$$du = \frac{1}{\cos(u)} \ dt$$

Sostituisco du=1/cos(u) dt nell'integrale

$$\frac{1}{a} \cdot \int \frac{\cos(u)}{\sin(u)} \cdot \frac{1}{\cos(u)} \ dt$$

$$\frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{\sin(u)} \ dt$$

Sostituisco t=sin(u) nell'integrale

$$\frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{t} \ dt$$

Ora l'integrale è immediato ∫1/t dt=log |t| + c

$$\frac{1}{a} \cdot \log | t | + c$$

Sapendo che t=sin(u)

$$\frac{1}{a} \cdot \log | \sin(u) | + c$$

Sapendo che u=ax+b

$$\frac{1}{a} \cdot \log | \sin(ax+b) | + c$$

Quest'ultimo è il risultato dell'integrale.

E così via.