Esercizio calcolo integrale 26

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \cot (ax+b) \ dx $$

Utilizzo il metodo del differenziale introducendo la variabile ausiliaria u=ax+b

$$ u = ax+b $$

Calcolo il differenziale

$$ du = a \ dx $$

Esplicito dx

$$ dx = \frac{1}{a} \ du $$

Sostituisco dx=1/a du nell'integrale

$$ \int \cot (ax+b) \cdot \frac{1}{a} \ du $$

Sostituisco u=ax-b nell'integrale

$$ \int \cot (u) \cdot \frac{1}{a} \ du $$

Il fattore 1/a è una costante. Quindi può uscire dall'integrale.

$$ \frac{1}{a} \cdot \int \cot (u) \ du $$

La cotangente è uguale al rapporto tra coseno e seno ossia cot(u)=cos(u)/sin(u)

$$ \frac{1}{a} \cdot \int \frac{\cos(u)}{\sin(u)} \ du $$

Introduco una seconda variabile ausiliaria t=sin(u)

$$ t = \sin(u) $$

$$ dt = \cos(u) \ du $$

$$ du = \frac{1}{\cos(u)} \ dt $$

Sostituisco du=1/cos(u) dt nell'integrale

$$ \frac{1}{a} \cdot \int \frac{\cos(u)}{\sin(u)} \cdot \frac{1}{\cos(u)} \ dt $$

$$ \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{\sin(u)} \ dt $$

Sostituisco t=sin(u) nell'integrale

$$ \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{t} \ dt $$

Ora l'integrale è immediato ∫1/t dt=log |t| + c

$$ \frac{1}{a} \cdot \log | t | + c $$

Sapendo che t=sin(u)

$$ \frac{1}{a} \cdot \log | \sin(u) | + c $$

Sapendo che u=ax+b

$$ \frac{1}{a} \cdot \log | \sin(ax+b) | + c $$

Quest'ultimo è il risultato dell'integrale.

E così via.