Esercizio calcolo integrale 24
Devo risolvere l'integrale
$$ \int \frac{9x-3}{x^2+1} \ dx $$
Scompongo la funzione integranda in due fratti
$$ \int \frac{9x}{x^2+1} - \frac{3}{x^2+1} \ dx $$
Per la proprietà lineare degli integrali l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali
$$ \int \frac{9x}{x^2+1} \ dx - \int \frac{3}{x^2+1} \ dx $$
$$ 9 \int \frac{x}{x^2+1} \ dx - 3 \int \frac{1}{x^2+1} \ dx $$
Il secondo integrale è immediato ∫1/(x2+1)=arctg(x)+c
$$ 9 \int \frac{x}{x^2+1} \ dx - 3 \arctan(x) + c $$
Per risolvere il primo integrale uso il metodo del differenziale ponendo t=x2+1
$$ t = x^2+1 $$
$$ dt = 2x $$
Poi esplicito dx
$$ dx = \frac{1}{2x} dt $$
A questo punto sostituisco dx=1/2x dt
$$ 9 \int \frac{x}{x^2+1} \cdot \frac{1}{2x} \ dt - 3 \arctan(x) + c $$
$$ 9 \int \frac{1}{x^2+1} \cdot \frac{1}{2} \ dt - 3 \arctan(x) + c $$
$$ 9 \cdot \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} \ dt - 3 \arctan(x) + c $$
Sapendo che t=x2+1
$$ \frac{9}{2} \int \frac{1}{t} \ dt - 3 \arctan(x) + c $$
Ora anche il primo integrale è immediato ∫1/t = log|t|+c
$$ \frac{9}{2} \log|t| - 3 \arctan(x) + c $$
Sostituisco t=x^2+1
$$ \frac{9}{2} \log|x^2+1| - 3 \arctan(x) + c $$
Poiché x2+1>0 per qualsiasi x, posso eliminare il modulo
$$ \frac{9}{2} \log(x^2+1) - 3 \arctan(x) + c $$
Questa è la soluzione dell'integrale.
E così via.