Esercizio calcolo integrale 24

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \frac{9x-3}{x^2+1} \ dx $$

Scompongo la funzione integranda in due fratti

$$ \int \frac{9x}{x^2+1} - \frac{3}{x^2+1} \ dx $$

Per la proprietà lineare degli integrali l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali

$$ \int \frac{9x}{x^2+1} \ dx - \int \frac{3}{x^2+1} \ dx $$

$$ 9 \int \frac{x}{x^2+1} \ dx - 3 \int \frac{1}{x^2+1} \ dx $$

Il secondo integrale è immediato ∫1/(x2+1)=arctg(x)+c

$$ 9 \int \frac{x}{x^2+1} \ dx - 3 \arctan(x) + c $$

Per risolvere il primo integrale uso il metodo del differenziale ponendo t=x2+1

$$ t = x^2+1 $$

$$ dt = 2x $$

Poi esplicito dx

$$ dx = \frac{1}{2x} dt $$

A questo punto sostituisco dx=1/2x dt

$$ 9 \int \frac{x}{x^2+1} \cdot \frac{1}{2x} \ dt - 3 \arctan(x) + c $$

$$ 9 \int \frac{1}{x^2+1} \cdot \frac{1}{2} \ dt - 3 \arctan(x) + c $$

$$ 9 \cdot \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} \ dt - 3 \arctan(x) + c $$

Sapendo che t=x2+1

$$ \frac{9}{2} \int \frac{1}{t} \ dt - 3 \arctan(x) + c $$

Ora anche il primo integrale è immediato ∫1/t = log|t|+c

$$ \frac{9}{2} \log|t| - 3 \arctan(x) + c $$

Sostituisco t=x^2+1

$$ \frac{9}{2} \log|x^2+1| - 3 \arctan(x) + c $$

Poiché x2+1>0 per qualsiasi x, posso eliminare il modulo

$$ \frac{9}{2} \log(x^2+1) - 3 \arctan(x) + c $$

Questa è la soluzione dell'integrale.

E così via.

 


 

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Il calcolo integrale