Esercizio calcolo integrale 21

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}} \ dx $$

Applico il metodo della sostituzione introducendo una variabile ausiliaria t=e^√(2x+1)

$$ dt = d( e^{\sqrt{2x+1}} ) \ dx $$

$$ dt = \frac{1}{2 \sqrt{2x+1}} \cdot 2 \cdot e^{\sqrt{2x+1}} \ dx $$

$$ dt = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} \cdot e^{\sqrt{2x+1}} \ dx $$

$$ dx = \frac{\sqrt{2x+1}}{e^{\sqrt{2x+1}}} \ dt $$

Sostituisco dx nell'integrale e semplifico

$$ \int \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}} \ dx $$

$$ \int \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}} \cdot \frac{\sqrt{2x+1}}{e^{\sqrt{2x+1}}} \ dt $$

$$ \int 1 \ dt $$

L'integrale ∫1dt è t+c

$$ \int 1 \ dt = t + c $$

Sapendo che t=e^√(2x+1)

$$ \int 1 \ dt = t + c = e^{\sqrt{2x+1}} + c $$

Pertanto, la soluzione dell'integrale è

$$ \int \frac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}} \ dx = e^{\sqrt{2x+1}} + c $$

E così via.