Esercizio calcolo integrale 18

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \frac{1}{2+x^2} \ dx $$

Esistono diverse tecniche per risolverlo.

Tecnica 1

Per prima cosa porto fuori dall'integrale il fattore 1/2

$$ \int \frac{1}{2 \cdot (1+ \frac{x^2}{2} )} \ dx $$

$$ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{1+ \frac{x^2}{2}} \ dx $$

$$ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{1+ ( \frac{x}{\sqrt{2}})^2} \ dx $$

Introduco la variabile ausiliaria u=x/√2

$$ u = \frac{x}{\sqrt{2}} $$

Calcolo il differenziale in entrambi i membri

$$ du = \frac{1}{\sqrt{2}} \ dx $$

$$ dx = \sqrt{2} \ du $$

Quindi sostituisco u=x/√2 nell'integrale

$$ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{1+ u^2} \ dx $$

Poi sostituisco dx=√2 du

$$ \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{1+ u^2} \cdot \sqrt{2} \ du $$

A questo punto faccio uscire dall'integrale anche la costante numerica √2

$$ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \int \frac{1}{1+ u^2} \ du $$

Moltiplico entrambi i membri della frazione √2/2 per √2 e semplifico

$$ \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt{2} } \cdot \int \frac{1}{1+ u^2} \ du $$

$$ \frac{2}{2 \cdot \sqrt{2} } \cdot \int \frac{1}{1+ u^2} \ du $$

$$ \frac{1}{\sqrt{2} } \cdot \int \frac{1}{1+ u^2} \ du $$

Ora l'integrale è diventato un integrale elementare, in quanto ∫1/(1+u²) du=arctan(u)+C è l'arcotangente di u.

$$ \frac{1}{\sqrt{2} } \cdot \arctan u + C $$

Sostituisco u=x/√2 per tornare alla variabile iniziale

$$ \frac{1}{\sqrt{2} } \cdot \arctan \frac{x}{\sqrt{2}} + C $$

Questa è la soluzione dell'integrale.

Esiste anche un metodo più diretto per risolvere l'integrale di $\frac{1}{2+x^2}$ usando una formula di integrazione standard.

$$ \int \frac{1}{2+x^2} \, dx $$

Il denominatore $2+x^2$ può essere riscritto come $1^2 + (\frac{x}{\sqrt{2}})^2$.

Questo mi permette di utilizzare direttamente la formula immediata per l'integrale di un espressione della forma $\frac{1}{a^2 + x^2}$, che è:

$$ \int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $$

Dove $C$ è la costante di integrazione.

In questo caso $a = \sqrt{2}$, quindi l'integrale diventa:

$$ \int \frac{1}{2 + x^2} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + C $$

Questo è il risultato finale dell'integrale di $\frac{1}{2+x^2}$ rispetto a $x$, ed è un metodo molto più diretto e semplice.

E così via