Esercizio calcolo integrale 14
Devo risolvere l'integrale
$$ \int \frac{e^{\sqrt{x}} \cdot \cos(e^{\sqrt{x}} ) }{\sqrt{x}} \ dx $$
Introduco una variabile ausiliaria t
$$ t = \sqrt{x} $$
Poi calcolo il differenziale in entrambi i membri
$$ D_t[t] = D_x[\sqrt{x}] $$
$$ 1 \ dt = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} dx $$
$$ dt = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} dx $$
Ora moltiplico e divido per 2 la funzione integranda
$$ \int \frac{e^{\sqrt{x}} \cdot \cos(e^{\sqrt{x}} ) }{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2} \ dx $$
$$ 2 \cdot \int \frac{e^{\sqrt{x}} \cdot \cos(e^{\sqrt{x}} ) }{2 \cdot \sqrt{x}} \ dx $$
In questo modo posso sostituire 1/2√(x) dx con dt
$$ 2 \cdot \int e^{\sqrt{x}} \cdot \cos(e^{\sqrt{x}} ) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \ dx $$
$$ 2 \cdot \int e^{\sqrt{x}} \cdot \cos(e^{\sqrt{x}} ) \ dt $$
Ora sostituisco t=√(x)
$$ 2 \cdot \int e^{t} \cdot \cos(e^{t} ) \ dt $$
Introduco una seconda variabile ausiliaria u
$$ u = e^t $$
Poi calcolo il differenziale in entrambi i membri nelle rispettive variabili.
$$ D_u[u] = D_t[e^t] $$
$$ 1 \ du = e^t \ dt $$
$$ du = e^t \ dt $$
Sostituisco et dt con du nell'integrale
$$ 2 \cdot \int e^{t} \cdot \cos(e^{t}) \ dt $$
$$ 2 \cdot \int \cos(e^{t}) \ du $$
Sapendo che u=et
$$ 2 \cdot \int \cos(u) \ du $$
Ora l'integrale è in una forma elementare e posso risolverlo facilmente.
L'integrale del coseno cos(u) è sin(u)
$$ 2 \cdot \sin(u) +c $$
Sapendo che u=et
$$ 2 \cdot \sin(e^t) +c $$
Sapendo che t=√x
$$ 2 \cdot \sin(e^{\sqrt{x}}) +c $$
Questa è la soluzione dell'integrale.
E così via.
