Esercizio calcolo integrale 13
Devo risolvere l'integrale indefinito
$$ \int \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx $$
Applico la proprietà del calcolo integrale che mi permette di trasformare l'integrale di una somma in una somma di integrali
$$ \int \frac{1}{\sqrt{x}} - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx $$
Riscrivo il primo termine usando la notazione delle potenze
$$ \int x^{- \frac{1}{2}} - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx $$
A questo punto i due integrali sono integrali immediati.
Il primo integrale è l'integrale di una potenza.
$$ [\frac{ x^{- \frac{1}{2}+1} }{ - \frac{1}{2}+1 } + c ] - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx $$
$$ \frac{ x^{\frac{-1+2}{2}} }{ \frac{-1+2}{2} } + c - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx $$
$$ \frac{ x^{\frac{1}{2}} }{ \frac{1}{2} } + c - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx $$
$$ \sqrt{x} \cdot \frac{2}{1} + c - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx $$
$$ 2 \cdot \sqrt{x} + c - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx $$
Il secondo integrale è l'integrale dell'arcoseno di x
$$ 2 \cdot \sqrt{x} + c - \arcsin x $$
Pertanto, la soluzione dell'integrale è
$$ 2 \cdot \sqrt{x} - \arcsin x + c $$
E così via.