Vettore nullo

Un vettore nullo è un vettore di lunghezza zero applicato all'origine. Si indica con il simbolo zero $$\vec{0} = \overrightarrow{OO}$$

In pratica, nel vettore nullo il punto di arrivo (O) e di origine (O) coincidono.

Un vettore nullo non ha direzione, né verso, e il suo modulo (lunghezza) è uguale a zero.

Nota. Il vettore nullo è l'elemento zero di uno spazio vettoriale V e l'elemento neutro dell'addizione tra vettori $\vec{v}$ di uno stesso spazio vettoriale. $$\vec{v} + \vec{0} = \vec{v} \:\:\: \forall \ \vec{v} \in V$$ Da questo consegue che anche la somma tra due vettori nulli è un vettore nullo $$\vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$$ Pertanto, l'opposto del vettore nullo è sempre il vettore nullo. $$-\vec{0} = \vec{0}$$

Esiste un solo vettore nullo in uno spazio vettoriale, indipendentemente dalla dimensione, ed è definito come il vettore con lunghezza zero e tutti i componenti uguali a zero.

La sua unicità è garantita dalle proprietà degli spazi vettoriali, in particolare dalla definizione dell'elemento neutro rispetto all'operazione di somma.

Esempio

Ad esempio, nello spazio vettoriale $\mathbb{R}$, formato dai numeri reali, il vettore nullo è il numero $0$, che è l'elemento neutro per l'addizione.

$$\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}$$

Nello spazio vettoriale $\mathbb{R}^2$ formato da coppie ordinate di numeri reali $(x, y)$, il vettore nullo è $\mathbf{0} = (0, 0)$, dove entrambi i componenti sono $0$.

$$\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

In generale, in uno spazio vettoriale $\mathbb{R}^n$, il vettore nullo è $\mathbf{0} = (0, 0, \dots, 0)$.

$$\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$$

Il vettore nullo è l'elemento neutro dell'addizione

La somma di un vettore $\mathbf{v}$ con il vettore nullo $\mathbf{0}$ restituisce il vettore stesso: $$\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$$

Questa proprietà è garantita dalla definizione del vettore nullo come elemento neutro rispetto all'operazione di somma in uno spazio vettoriale.

Esempio

Considero un vettore $\vec{v}$ nello spazio vettoriale $\mathbb{R}^2$.

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Il vettore nullo in questo spazio vettoriale è il vettore $\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

La somma del vettore $\vec{v}$ con il vettore nullo, restituisce il vettore $\vec{v}$ stesso.

$$\vec{v} + \vec{0}  = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$\vec{v} + \vec{0}  = \begin{pmatrix} 3 + 0 \\ -2 + 0 \end{pmatrix}$$

$$\vec{v} + \vec{0}  = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$$

$$\vec{v} + \vec{0}  = \vec{v}$$

E così via.