Vettore nullo
Un vettore nullo è un vettore di lunghezza zero applicato all'origine. Si indica con il simbolo zero $$ \vec{0} = \overrightarrow{OO} $$
In pratica, nel vettore nullo il punto di arrivo (O) e di origine (O) coincidono.
Un vettore nullo non ha direzione, né verso, e il suo modulo (lunghezza) è uguale a zero.
Nota. Il vettore nullo è l'elemento zero di uno spazio vettoriale V e l'elemento neutro dell'addizione tra vettori $ \vec{v} $ di uno stesso spazio vettoriale. $$ \vec{v} + \vec{0} = \vec{v} \:\:\: \forall \ \vec{v} \in V $$ Da questo consegue che anche la somma tra due vettori nulli è un vettore nullo $$ \vec{0} + \vec{0} = \vec{0} $$ Pertanto, l'opposto del vettore nullo è sempre il vettore nullo. $$ -\vec{0} = \vec{0} $$
Esiste un solo vettore nullo in uno spazio vettoriale, indipendentemente dalla dimensione, ed è definito come il vettore con lunghezza zero e tutti i componenti uguali a zero.
La sua unicità è garantita dalle proprietà degli spazi vettoriali, in particolare dalla definizione dell'elemento neutro rispetto all'operazione di somma.
Esempio
Ad esempio, nello spazio vettoriale \( \mathbb{R} \), formato dai numeri reali, il vettore nullo è il numero \( 0 \), che è l'elemento neutro per l'addizione.
$$ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} $$
Nello spazio vettoriale \( \mathbb{R}^2 \) formato da coppie ordinate di numeri reali \( (x, y) \), il vettore nullo è \( \mathbf{0} = (0, 0) \), dove entrambi i componenti sono \( 0 \).
$$ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
In generale, in uno spazio vettoriale \( \mathbb{R}^n \), il vettore nullo è \( \mathbf{0} = (0, 0, \dots, 0) \).
$$ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $$
Il vettore nullo è l'elemento neutro dell'addizione
La somma di un vettore \( \mathbf{v} \) con il vettore nullo \( \mathbf{0} \) restituisce il vettore stesso: $$ \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} $$
Questa proprietà è garantita dalla definizione del vettore nullo come elemento neutro rispetto all'operazione di somma in uno spazio vettoriale.
Esempio
Considero un vettore \( \vec{v} \) nello spazio vettoriale \( \mathbb{R}^2 \).
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} $$
Il vettore nullo in questo spazio vettoriale è il vettore $ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $
La somma del vettore \( \vec{v} \) con il vettore nullo, restituisce il vettore \( \vec{v} \) stesso.
$$ \vec{v} + \vec{0} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v} + \vec{0} = \begin{pmatrix} 3 + 0 \\ -2 + 0 \end{pmatrix}$$
$$ \vec{v} + \vec{0} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$$
$$ \vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$$
E così via.
