La combinazione lineare di vettori
Una combinazione lineare è la somma dei prodotti tra i vettori e gli scalari.
Dato uno spazio vettoriale V su un campo K e m vettori v1,...,vm ∈ V e altrettanti scalari α1,...,αm ∈ K, la combinazione lineare tra vettori e coefficienti scalari è il vettore
$$ v=α_1 v_1 + ... + α_m v_m $$
A sua volta anche la combinazione lineare è un elemento dello spazio vettoriale, perché usa le operazioni ( somma e prodotto ) i cui risultati appartengono allo spazio vettoriale.
Un esempio di calcolo
In uno spazio vettoriale V nel campo R3 prendo due vettori
$$ v_1 = \{ 4,5,6 \} $$ $$ v_2 = \{ 7,8,9 \} $$
Ho altrettanti scalari α dal campo dei numeri reali
$$ α_1=1 , α_2=2 $$
La combinazione lineare dei vettori con gli scalari si ottiene moltiplicando gli m vettori per gli scalari α e sommando il risultato di prodotti.
$$ v = α_1 v_1 + α_2 v_2 $$
ossia
$$ v = 1 \cdot v_1 + 2 \cdot v_2 $$
$$ v = 1 \cdot \{ 4,5,6 \} + 2 \cdot \{ 7,8,9 \} $$
$$ v = \{ 4,5,6 \} + \{ 14,16,18 \} $$
$$ v = \{ 4+14,5+16,6+18 \} $$
$$ v = \{ 18,21,24 \} $$
La combinazione lineare dei vettori e gli scalari è il vettore { 18,21,24 }.
La combinazione lineare banale
Se i coefficienti lineari sono tutti uguali a zero, si parla di combinazione lineare banale.
$$ v= 0 \cdot v_1 + ... + 0 \cdot v_m $$
dove
$$ \{ α_1 , ... , α_m \} = \{ 0 , ... , 0 \} $$
Il valore di una combinazione lineare banale è sempre uguale a zero ed è uguale a quella di un vettore nullo.
$$ v=0 $$
