Versori e coseni direttori

Una retta è orientata se ha un vettore direttore che determina il verso di percorrenza.

Questa è l'equazione vettoriale di una retta

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} $$

Il vettore direttore della retta è

$$ v_r = \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} $$

Tuttavia, questo vettore ha due possibili versi.

$$ v_r = \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} $$

$$ -v_r = \begin{pmatrix} -l \\ -m \end{pmatrix} $$

A seconda dei casi ottengo una retta in un verso o nel verso opposto.

Nota. Il vettore direttore può essere concorde o meno con l'orientazione della retta.

Perché si parla di versore direttore?

Se un vettore ha la norma unitaria è detto versore.

Quindi, un versore direttore è un vettore direttore con norma uguale a uno.

$$ || v_r || = \sqrt{l^2 + m^2} = 1 $$

Per trasformare qualsiasi vettore in un versore, basta dividerlo per la sua norma.

$$ u_r = \frac{v_r}{|| v_r ||} $$

Gli elementi del versore direttore sono detti coseni direttori.

$$ u_r = \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \end{pmatrix} $$

Perché sono detti coseni direttori?

Sono detti coseni direttori perché eguagliano i coseni degli angoli determinati dalla retta orientata e gli assi orientati.

Un esempio pratico

Ho una retta con l'equazione cartesiana.

La retta è orientata con x crescenti e y crescenti.

$$ 2x + 4y - 8 = 0 $$

Si tratta di un'equazione cartesiana, quindi il vettore direttore si ottiene tramite il vettore normale.

Il vettore normale è

$$ n = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Quindi la retta ha due possibili vettori direttori

$$ v_{r1} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix} $$

$$ v_{r2} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} $$

Perché? Il vettore direttore e il vettore normale sono vettori ortogonali. Pertanto, il loro prodotto scalare <n, v> è uguale a zero. $$ < n , v_{r1} > = 2 \cdot (-4) + 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0 $$ $$ < n , v_{r2} > = 2 \cdot 4 + 4 \cdot (-2) = 8 - 8 = 0 $$

Guardando il diagramma cartesiano tutto diventa più chiaro.

i due vettori direttori

Quale scegliere? Dipende dall'orientazione della retta. Il vettore direttore v1 è concorde con la retta orientata con x decrescenti e y crescenti. Viceversa, il vettore direttore v2 è concorde con la retta orientata con x crescenti e y decrescenti. Posso prendere anche un vettore non concorde con l'orientazione della retta ma, in questo caso, va moltiplicato per -1 ossia -v1 o -v2.

Fisso l'orientazione della retta con y crescenti e x decrescenti.

Quindi, scelgo il vettore direttore vr1 concorde con l'orientazione della retta.

scelgo il vettore direttore concorde con l'orientazione della retta

Nota. Potrei scegliere anche il vettore direttore non concorde v2 moltiplicato per -1 ( ossia -v2 ) ma sarebbe comunque come scegliere v1. $$ - v_2 = -1 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix} = v_1 $$

Verifico se il vettore direttore v1 è un versore ossia se ha la norma unitaria.

$$ || v_{r1} || = \sqrt{(-4)^2 + (2)^2} = \sqrt{20} $$

Non è un versore.

A questo punto, per trasformarlo in un versore lo divido per la sua norma.

$$ u_{r1} = \frac{v_{r1}}{|| v_{r1} ||} $$

$$ u_{r1} = \frac{ \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix} } { \sqrt{20} } = \begin{pmatrix} \frac{-4}{ \sqrt{20} } \\ \frac{2}{ \sqrt{20} } \end{pmatrix} $$

Ho così ottenuto il versore direttore ur1.

E' un vettore proporzionale al vettore direttore v1 ma ha un modulo uguale a 1.

la rappresentazione del versore direttore

Nota. Il versore direttore è molto utile perché ha un modulo pari a uno e mi permette di usare le funzioni e le formule della trigonometria ( seno, coseno, tangente, ecc. ).
il versore direttore e la trigonometria

Gli elementi del versore direttore sono i coseni direttori della retta.

$$ u_{r1} = \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-4}{ \sqrt{20} } \\ \frac{2}{ \sqrt{20} } \end{pmatrix} $$

Quindi i coseni direttori sono

$$ r_x = \frac{-4}{ \sqrt{20} } = \frac{-4}{ \sqrt{5 \cdot 2^2 } } = \frac{-4}{ 2 \cdot \sqrt{5 } } = \frac{-2}{ \sqrt{5 } } $$

$$ r_y = \frac{2}{ \sqrt{20} } = \frac{2}{ \sqrt{5 \cdot 2^2} } = \frac{2}{ 2 \cdot \sqrt{5 } } = \frac{1}{ \sqrt{5 } } $$

Pertanto

$$ r_x = cos \: \hat{xr} = \frac{-2}{ \sqrt{5 } } $$

$$ r_y = cos \: \hat{yr} = \frac{1}{ \sqrt{5 } } $$

Attenzione. I coseni direttori esprimono la lunghezza del coseno. Non indicano l'ampiezza dell'angolo. Per calcolare l'ampiezza dell'angolo in radianti bisogna calcolare l'arcocoseno ossia la funzione inversa del coseno.

A questo punto calcolo l'arcocoseno ( arccos ) per avere l'ampiezza degli angoli in radianti.

$$ arccos \: r_x = arccos \: \frac{-2}{ \sqrt{5 } } = 2,677 \: rad = 153,43° $$

$$ arccos \: r_y = arccos \: \frac{1}{ \sqrt{5 } } = 1,107 \: rad = 63,43° $$

Dal punto di vista geometrico l'ampiezza dell'angolo rx comincia con l'asse x e termina con la retta secondo l'orientazione della retta.

Lo stesso vale per l'angolo ry che va dall'asse y alla retta r.

la rappresentazione grafica dei coseni direttori

E' se la retta avesse l'orientazione opposta?

In questo caso il vettore concorde è il vettore direttore v2.

$$ v_{r2} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} $$

Quindi, il versore direttore diventa

$$ u_{r2} = \frac{v_{r2}}{|| v_{r2} ||} $$

$$ u_{r2} = \frac{ \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} } { \sqrt{20} } = \begin{pmatrix} \frac{4}{ \sqrt{20} } \\ \frac{-2}{ \sqrt{20} } \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{ \sqrt{5} } \\ \frac{-1}{ \sqrt{5} } \end{pmatrix} $$

Pertanto

$$ r_x = cos \: \hat{xr} = \frac{2}{ \sqrt{5 } } $$

$$ r_y = cos \: \hat{yr} = \frac{-1}{ \sqrt{5 } } $$

Per conoscere l'ampiezza degli angoli in radianti calcolo l'arcocoseno ( arccos ).

$$ arccos \: r_x = arccos \: \frac{2}{ \sqrt{5 } } = 0,4636 \: rad = 26,56° $$

$$ arccos \: r_y = arccos \: \frac{-1}{ \sqrt{5 } } 2,034 \: rad = 116,56° $$

Dal punto di vista geometrico l'ampiezza dell'angolo rx va dall'asse x alla retta secondo l'orientazione della retta.

Lo stesso vale per l'angolo ry che si estende dall'asse y alla retta.

l'ampiezza degli angoli

Nota. Cambiando l'orientazione della retta i coseni direttori misurano l'angolo supplementare rispetto all'orientazione precedente. Quindi, se conosco già l'ampiezza degli angoli nel verso opposto, per ottenere i nuovi angoli mi basta calcolare l'angolo supplementare per differenza dall'angolo piatto (π =3.14 rad = 180° ) . In questo modo il calcolo diventa molto più rapido. $$ 180° - 153,43° = 26.56° $$ $$ 180° - 63,43° = 116.56° $$ Osservando il diagramma cartesiano la relazione tra i coseni direttori nelle due orientazioni è subito evidente.
l'orientazione della retta e quella opposta formano un angolo piatto di 180° = 3.14 radianti

E così via.


 
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Rappresentazione vettoriale della retta