Prodotto di un vettore per uno scalare

Il prodotto di uno scalare k per un vettore v si ottiene moltiplicando le n componenti del vettore per lo scalare. $$ k \cdot \vec{v} = k \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ \ v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot v_1 \\ k \cdot v_2 \\ \vdots \\ \ k \cdot v_n \end{pmatrix} $$

Dove per scalare intendo un numero.

Il prodotto di un vettore v per uno scalare k è un vettore w=k·v che ha

  • la stessa direzione del vettore v.
  • una lunghezza (modulo) pari a |k|·v
  • il verso è concorde se k>0 o discorde se k<0

Nota. Se lo scalare è zero k=0 il risultato del prodotto del vettore per lo scalare è un vettore nullo. Se k=1 il risultato è lo stesso vettore v. Se k=-1, invece, il risultato è il vettore opposto -v.

    Un esempio pratico

    Nello spazio a tre dimensioni (x,y,z) considero il vettore v

    $$ \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} $$

    Moltiplico il vettore per lo scalare k=2

    $$ k \cdot \vec{v} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} $$

    Il prodotto del vettore per lo scalare equivale a moltiplicare ogni componente del vettore per k = 2

    $$ k \cdot \vec{v} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} $$

    Il risultato finale è un altro vettore.

    Esempio 2

    Prendo in considerazione il vettore v.

    Il vettore ha una lunghezza (modulo) pari a |v|=3.

    il prodotto per uno scalare

    Il prodotto del vettore per lo scalare k=2

    $$ \vec{w} = |k| \cdot \vec{v} $$

    è un vettore w che la stessa direzione e verso ma modulo pari a 6.

    $$ | \vec{w} | = |k| \cdot | \vec{v} | = 2 \cdot 3 = 6 $$

    Ecco la rappresentazione grafica

    il prodotto per uno scalare

    Nota. Dal punto di vista algebrico il prodotto di un vettore per uno scalare k è un vettore con tutti gli elementi moltiplicati per k. Ad esempio se k=3 e v=(1,2)^T. $$ k \cdot \vec{v} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} $$ Ecco la rappresentazione grafica.
    il prodotto di uno scalare per un vettore

    Esempio 3

    Prendo in considerazione il vettore v con modulo pari a |v|=3.

    il prodotto per uno scalare

    Quando k è un numero negativo, ad esempio k=-2, il prodotto del vettore v per lo scalare k=-2 è un vettore w che ha la stessa direzione ma verso opposto e modulo uguale a |w|=6.

    $$ | \vec{w} | = |k| \cdot | \vec{v} | = |-2| \cdot 3 = 6 $$

    Ecco la rappresentazione grafica

    prodotto di un vettore per uno scalare

    Nota. Se lo scalare fosse k=-1 otterrei il vettore opposto di v ossia un vettore -v con uguale direzione e modulo ma verso opposto rispetto a v.

    e così via.

     


     

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