La norma del vettore
In matematica una norma è una funzione che assegna una lunghezza a un vettore.
La definizione di norma
In uno uno spazio vettoriale reale V nel campo K=R, una norma su V è una funzione ||·||:V→R tale che: $$||v|| ≥ 0 \;\;\; \forall v ∈ V \\ ||v||=0 \:\:\:\:\: se\: e\: solo\: se \:\: V=0_v \\ ||k·v||=|k|·||v|| \:\:\: \forall v \in V , k \in R \\ ||v1+v2|| \le ||v_1||+||v_2|| \:\:\: \forall v_1,v_2 \in V $$
La norma ||v|| di un vettore v è detta modulo o lunghezza di v.
Tipi di norme
Esistono diverse tipologie di norme
$$ ||v||_1 := \sum_i^n |x_i| \:\:\:\: \forall v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$
$$ ||v||_2 := \sqrt{\sum_i^n x^2_i} \:\:\:\: \forall v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$
Nota. Quest'ultima è detta norma euclidea. E' la norma più utilizzata perché descrive le operazioni nella geometria euclidea.
$$ ||v||_{\infty} := max \{ |x_i| \} \:\:\:\: \forall v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$
A seconda della norma scelta, la lunghezza del vettore assume valori diversi.
Un esempio pratico
Dato un vettore v dello spazio vettoriale V=R3
$$ v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
Il modulo (lunghezza) del vettore assume i seguenti valori a seconda della norma prescelta:
$$ ||v||_1 := |x_1|+|x_2|+|x_3| = |2|+|3|+|4| = 9 $$
$$ ||v||_2 := \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} = \sqrt{2^2+3^2+4^2} = \sqrt{29} $$
$$ ||v||_{\infty} := max \{ x_1, x_2, x_3 \} = max \{ 2, 3, 4 \} = 4 $$
Il vettore unico o versore
Il vettore unico (o versore) è un vettore con modulo uguale a 1 $$ ||v|| = 1 $$
Ogni vettore vi dello spazio vettoriale è associato a un versore ||vi||
Esempio
Nella norma euclidea il vettore v ( 2,3,4) è associato al versore ||v||=√29
$$ v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
$$ ||v|| = \sqrt{29} $$
Per ottenere il vettore unico (versore) di v basta dividere il vettore per la sua norma.
$$ \hat{v} = \frac{1}{||v||} $$
$$ \hat{v} = \frac{1}{ \sqrt{29} } \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
$$ \hat{v} = \begin{pmatrix} \frac{2}{ \sqrt{29} } \\ \frac{3}{ \sqrt{29} } \\ \frac{4}{ \sqrt{29} } \end{pmatrix} $$
Ho così ottenuto il versore del vettore v.
Nota. Il passaggio dal vettore al versore è detta normalizzazione del vettore.
