Il prodotto tra due polinomi
Il prodotto tra due polinomi P e Q è un polinomio composto dalla somma dei prodotti di ogni termine del primo polinomio fattore P per ogni termine del secondo polinomio fattore Q.
Il risultato è un polinomio prodotto di grado pari alla somma dei gradi dei polinomi.
Esempio. Considero il prodotto tra due polinomi fattori di primo grado $$ ( 2a + 3b) \cdot (3a - 4b) $$ Applico la proprietà associativa e la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione $$ 2a \cdot (3a - 4b) + 3b \cdot (3a - 4b) $$ $$ 6a^2 - 8ab + 9ab - 12b^2 $$ Infine, svolgo i calcoli per ridurre il polinomio alla forma normale $$ 6a^2 + ab - 12b^2 $$ Il risultato è un polinomio prodotto di grado due.
La dimostrazione
Per dimostrare questa regola algebrica posso ricorrere alla geometria elementare
Considero un rettangolo di base (a+b) e altezza (c+d)
L'area A del rettangolo è uguale al prodotto tra la base e l'altezza
$$ A = (a+b) \cdot (c+d) $$
Suddivido la base del rettangolo in due segmenti distinti a e b.
Suddivido l'altezza del rettangolo in due segmenti distinti c e d.
In questo modo ottengo quattro rettangoli non sovrapposti tra loro che occupano l'intera area A del rettangolo principale
Pertanto, la somma delle aree dei quattro rettangoli è pari all'area A.
$$ A = ac + ad + bc + bd $$
In conclusione, l'area del rettangolo è uguale a
$$ A = (a+b) \cdot (c+d) = ac + ad + bc + bd $$
Questo dimostra geometricamente la regola di calcolo del prodotto tra due polinomi.
E così via.
