Minimo comune multiplo
Il minimo comune multiplo (m.c.m.) è il più piccolo multiplo comune di due interi a e b. Si indica con $$ mcm(a,b) $$ oppure $$ [a,b] $$
Dal punto di vista pratico il minimo comune multiplo di due numeri è il prodotto di tutti i fattori primi, comuni e non comuni, presi una sola volta con l'esponente più alto.
Esempio. Per calcolare il m.c.m. di 30 e 40 scompongo i due numeri in fattori primi $$ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $$ $$ 40 = 2^3 \cdot 5 $$ I fattori primi comuni e non comuni con esponente più alto sono 23, 3 e 5. Pertanto, il minimo comune multiplo è 23·3·5=120. $$ mcm(30,40) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120 $$
Dati due numeri interi a e b, il minimo comune multiplo è un intero m tale che
- Sia a che b sono divisori di m $$ a|m \\ b|m $$
- L'intero m è un multiplo di ogni divisore k di a e b $$ \forall \ k \in Z : a|k ∧ b|k \rightarrow k|m $$
Nota. Si dovrebbe parlare di "un" minimo comune multiplo perché, dati due interi a e b, esistono due elementi associati multipli m e -m che soddisfano le condizioni precedenti. Quando si parla "del" minimo comune multiplo si intende l'intero positivo (m) senza considerare il segno. Ad esempio, il mcm(30,40) è uguale a 120 ma anche -120. Ad esempio, sia 30 che 40 sono divisori di -120. Inoltre, -120 è un multiplo di ogni divisore di 30 e di 40. Per convenzione si considera solo il numero positivo.
Come si calcola il minimo comune multiplo
Per calcolare il minimo comune multiplo di due interi, scompongo i due interi in fattori primi. Poi moltiplico tutti i fattori primi in comune e non in comune con esponente più grande.
Nota. Questo metodo è utile solo se i numeri sono facilmente scomponibili. Spesso la scomposizione in fattori primi non è sempre facile.
Un esempio pratico
Dati due interi a=40 e b=30
$$ a=40 \\ b=30 $$
I fattori primi dei due numeri sono
$$ \begin{array}{c|c} a & f \\ \hline 40 & 2 \\ 20 & 2 \\ 10 & 2 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} $$
$$ \begin{array}{c|c} b & f \\ \hline 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} $$
Quindi
$$ a=40= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5 $$
$$ b=30= 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $$
Moltiplico tra loro tutti i fattori primi presi una sola volta con l'esponente più alto.
$$ mcm(40,30) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120 $$
Metodi alternativi di calcolo
Esistono anche altri metodi per calcolare il minimo comune multiplo. Sono molto utili quando la scomposizione in fattori primi non è semplice.
A] Tramite il MCD
Il minimo comune multiplo è uguale al prodotto tra i due numeri diviso per il massimo comune divisore dei due numeri.
$$ mcm(a,b) = \frac{a \cdot b}{MCD(a,b)} $$
Esempio. Il massimo comune divisore di 30 e 40 è uguale a 10. $$ MCD(30,40)=10 $$ Quindi, il minimo comune multiplo di 30 e 40 è $$ mcm(30,40) = \frac{30 \cdot 40}{MCD(30,40)} = \frac{1200}{10} = 120 $$
Resta però il problema di calcolare il massimo comune divisore tramite la scomposizione in fattori primi. Per evitare questo problema uso l'algoritmo di Euclide.
B] Algoritmo di Euclide
L'algoritmo di Euclide trova il massimo comune divisore tra due numeri.
E' utile per calcolare il minimo comune multiplo tramite il massimo comune divisore (metodo A) senza procedere alla scomposizione in fattori primi.
Esempio. Per calcolare il massimo comune divisore tra 30 e 40, divido il numero più grande per il più piccolo $$ 40 : 30 = 1 \ con \ resto \ 10 $$ Poi divido il divisore 30 per il resto 10 $$ 30:10 = 3 \ con \ resto \ 0 $$ L'algoritmo di Euclide termina qui perché il resto della divisione è nullo. Il massimo comune divisore è l'ultimo resto non nullo. In questo caso il MCD(30,40)=10.
La relazione tra minimo comune multiplo (mcm) e massimo comune divisore (MCD)
Il minimo comune multiplo (mcm) è legato dalla seguente relazione con il massimo comune divisore (MCD) di due interi a e b. $$ mcm(a,b)=\frac{ab}{MCD(a,b)} $$
Esempio
Dati due interi a=8 e b=12
$$ mcm(8,12)=24 $$
$$ MCD(8,12)=4 $$
Verifico la relazione precedente
$$ mcm(a,b)=\frac{ab}{MCD(a,b)} $$
$$ mcm(8,12)=\frac{8 \cdot 12}{MCD(8,12)} $$
$$ 24=\frac{96}{4} $$
$$ 24=24 $$
L'uguaglianza è soddisfatta.
E così via.
