Cilindro

Il cilindro è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo intorno a una retta (detta "asse") passante per uno dei suoi lati.

Pertanto, il cilindro è un solido di rotazione.

La distanza tra l'asse e il lato opposto del rettangolo è detta "raggio di base" o "raggio del cilidro".

Il cilindro è delimitato da due superfici circolari dette "basi" e da una superficie laterale curva.

L'altezza del cilindro è la distanza tra le due basi. E' il lato attorno al quale ruota il cilindro ed è perpendicolare alle basi.

Quando l'altezza del cilindro coincide con il diametro della base, il cilindro è detto cilindro equilatero.

Nota. Quando si parla di "cilindro" nella geometria elementare si intende generalmente il "cilindro circolare retto". Oltre a questo esistono anche altri tipi di cilindri detti "cilindri indefiniti". Ad esempio, il cilindro ellittico, il cilindro parabolico, il cilindro iperbolico e altre tipologie di cilindri circolari non retti (es. cilindro obliquo).

Formule

Alcune formule per calcolare le grandezze del cilindro circolare retto

• Superficie di base
  E' l'area di base del cilindro e si calcola come l'area di un cerchio. $$ S_B = \pi r^2 $$
• Superficie laterale
  È l'area della superficie laterale del cilindro e si calcola come il prodotto della circonferenza di base (perimetro) per l'altezza del cilindro (h).Per un cilindro circolare retto, la formula è:
  $$ S_L = 2 \pi r \cdot h $$ Dove r è il raggio di base, π è la costante pi greco (circa 3.14159).
• Superficie totale
  È la somma dell'area laterale e dell'area delle due basi. Poiché le basi di un cilindro circolare retto sono cerchi, l'area di ciascuna base è 2πr. Quindi, la formula per l'area totale è la seguente:
  $$ S_T = S_L + 2 \cdot \pi r^2 $$ $$ S_T = 2 \pi r \cdot h + 2 \cdot \pi r^2 $$ $$ S_T = 2 \pi r \cdot (h+r) $$
• Volume
  Il volume V di un cilindro circolare retto è dato dal prodotto dell'area della base per l'altezza h del cilindro. Per una base circolare con raggio r, l'area della base è πr². Quindi, la formula per calcolare il volume del cilindro è: $$ V = \pi r^2 \cdot h $$ Questa formula vale per qualsiasi cilindro circolare retto, indipendentemente dal fatto che sia obliquo o no, poiché il volume dipende solo dall'area della base e dall'altezza perpendicolare alle basi.

Tipi di cilindri

Esistono varie tipologie di cilindri.

• Cilindro circolare retto
  Ha basi circolari e la superficie laterale perpendicolare alle basi.
• Cilindro circolare non retto
  Ha le basi circolari, come il precedente, ma la superficie laterale non è perpendicolare alle basi. Può essere inclinato (cilindro obliquo) o presentare curve o torsioni.
• Cilindro obliquo
  Se le linee generatrici sono inclinate rispetto alle basi, allora il cilindro è obliquo. In questo caso, la sezione trasversale non è un rettangolo.
• Cilindro ellittico
  Ha basi ellittiche anziché circolari.
• Cilindro parabolico
  Non è limitato da basi e si estende all'infinito in una direzione, con una sezione trasversale che forma una parabola.
• Cilindro iperbolico
  Simile al parabolico, ma con una sezione trasversale che forma un'iperbole.

Questi sono solo alcuni esempi di cilindri "indefiniti" o non retti, e ci sono molte altre forme cilindriche possibili a seconda delle curve delle basi e della natura delle superfici laterali.

Cilindro nella geometria analitica

La nozione di cilindro si estende anche alla geometria analitica e può essere rappresentata mediante equazioni in coordinate cartesiane, cilindriche o sferiche.

Un cilindro circolare retto con l'asse lungo l'asse z e il centro della base situato all'origine ha l'equazione

$$ x^2+y^2=r^2 $$

Dove r è il raggio delle basi circolari.

Questa equazione descrive tutti i punti (x,y,z) la cui distanza dall'asse z è costantemente uguale a r.

Poiché quest'area si estende all'infinito, per ottenere un cilindro devo anche indicare un intervallo per i valori dell'asse z.

Ad esempio, se il cilindro si estende dall'origine del piano (0;0;0) verso l'alto fino a un'altezza h, l'intervallo di z è il seguente:

$$ 0 \le z \le h $$

Il risultato è un cilindro con un'altezza finita con una base sul piano cartesiano xy.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note sui cilindri

• Due cilindri circolari retti sono congruenti se hanno la stessa altezza e lo stesso raggio di base.
• Se si seziona un cilindro circolare retto con un piano passante per l'asse di rotazione e perpendicolare alla base, si ottiene un rettangolo oppure un quadrato nel caso in cui il cilindro è anche equilatero.
• Il cilindro è simile a un prisma con una base poligonale, ma poiché ha basi circolari, ha proprietà uniche, come la simmetria rotazionale attorno al suo asse.

E così via