Cilindro

Il cilindro è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo intorno a una retta (detta "asse") passante per uno dei suoi lati.

Pertanto, il cilindro è un solido di rotazione.

La distanza tra l'asse e il lato opposto del rettangolo è detta "raggio di base" o "raggio del cilidro".

Il cilindro è delimitato da due superfici circolari dette "basi" e da una superficie laterale curva.

L'altezza del cilindro è la distanza tra le due basi. E' il lato attorno al quale ruota il cilindro ed è perpendicolare alle basi.

Quando l'altezza del cilindro coincide con il diametro della base, il cilindro è detto cilindro equilatero.

Nota. Quando si parla di "cilindro" nella geometria elementare si intende generalmente il "cilindro circolare retto". Oltre a questo esistono anche altri tipi di cilindri detti "cilindri indefiniti". Ad esempio, il cilindro ellittico, il cilindro parabolico, il cilindro iperbolico e altre tipologie di cilindri circolari non retti (es. cilindro obliquo) che non sono ottenibili tramite una semplice rotazione completa di un rettangolo. In questo caso l'altezza del cilindro non coincide con l'asse di rotazione.

Formule

Alcune formule per calcolare le grandezze del cilindro circolare retto

• Superficie di base
  E' l'area di base del cilindro e si calcola come l'area di un cerchio. $$ S_B = \pi r^2 $$
• Superficie laterale
  È l'area della superficie laterale del cilindro e si calcola come il prodotto della circonferenza di base (perimetro) per l'altezza del cilindro (h).Per un cilindro circolare retto, la formula è:
  $$ S_L = 2 \pi r \cdot h $$ Dove r è il raggio di base, π è la costante pi greco (circa 3.14159).
• Superficie totale
  È la somma dell'area laterale e dell'area delle due basi. Poiché le basi di un cilindro circolare retto sono cerchi, l'area di ciascuna base è 2πr. Quindi, la formula per l'area totale è la seguente:
  $$ S_T = S_L + 2 \cdot \pi r^2 $$ $$ S_T = 2 \pi r \cdot h + 2 \cdot \pi r^2 $$ $$ S_T = 2 \pi r \cdot (h+r) $$

  Spiegazione. Per capire meglio il senso della formula, sviluppo il cilindro sul piano.
  
  La superficie laterale del cilindro è un rettangolo che ha per base la circonferenza rettificata (2πr) e per altezza la stessa altezza del cilindro (h). $$ S_L = 2 \pi r \cdot h $$ Sapendo che l'area della superficie di base è quella di un cerchio. $$ S_B = \pi r^2 $$ Quindi, l'area totale del cilindro è la somma delle due superfici di base e dell'area laterale. $$ S_T = 2 S_B + S_L $$ $$ S_T = 2 ( \pi r^2 ) + 2 \pi r \cdot h $$ $$ S_T = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h $$ $$ S_T = 2 \pi r \cdot ( r + h ) $$ E' esattamente la formula che volevo dimostrare.

• Volume
  Il volume V di un cilindro circolare retto è dato dal prodotto dell'area della base per l'altezza h del cilindro. Per una base circolare con raggio r, l'area della base è πr². Quindi, la formula per calcolare il volume del cilindro è: $$ V = \pi r^2 \cdot h $$ Questa formula vale per qualsiasi cilindro circolare retto, indipendentemente dal fatto che sia obliquo o no, poiché il volume dipende solo dall'area della base e dall'altezza perpendicolare alle basi.

Tipi di cilindri

Esistono varie tipologie di cilindri.

• Cilindro circolare retto
  Ha basi circolari e la superficie laterale perpendicolare alle basi. L'altezza del cilindro coincide con l'asse di rotazione.
• Cilindro circolare non retto
  Ha le basi circolari, come il precedente, ma la superficie laterale non è perpendicolare alle basi. Può essere inclinato (cilindro obliquo) o presentare curve o torsioni.
• Cilindro obliquo
  Se le linee generatrici sono inclinate rispetto alle basi, allora il cilindro è obliquo. In questo caso, la sezione trasversale non è un rettangolo.
• Cilindro ellittico
  Ha basi ellittiche anziché circolari.
• Cilindro parabolico
  Non è limitato da basi e si estende all'infinito in una direzione, con una sezione trasversale che forma una parabola.
• Cilindro iperbolico
  Simile al parabolico, ma con una sezione trasversale che forma un'iperbole.

Questi sono solo alcuni esempi di cilindri "indefiniti" o non retti, e ci sono molte altre forme cilindriche possibili a seconda delle curve delle basi e della natura delle superfici laterali.

Cilindro nella geometria analitica

La nozione di cilindro si estende anche alla geometria analitica e può essere rappresentata mediante equazioni in coordinate cartesiane, cilindriche o sferiche.

Un cilindro circolare retto con l'asse lungo l'asse z e il centro della base situato all'origine ha l'equazione

$$ x^2+y^2=r^2 $$

Dove r è il raggio delle basi circolari.

Questa equazione descrive tutti i punti (x,y,z) la cui distanza dall'asse z è costantemente uguale a r.

Poiché quest'area si estende all'infinito, per ottenere un cilindro devo anche indicare un intervallo per i valori dell'asse z.

Ad esempio, se il cilindro si estende dall'origine del piano (0;0;0) verso l'alto fino a un'altezza h, l'intervallo di z è il seguente:

$$ 0 \le z \le h $$

Il risultato è un cilindro con un'altezza finita con una base sul piano cartesiano xy.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note sui cilindri

• Due cilindri circolari retti sono congruenti se hanno la stessa altezza e lo stesso raggio di base.
• Se si seziona un cilindro circolare retto con un piano passante per l'asse di rotazione e perpendicolare alla base, si ottiene un rettangolo oppure un quadrato nel caso in cui il cilindro è anche equilatero.
• Il cilindro è simile a un prisma con una base poligonale, ma poiché ha basi circolari, ha proprietà uniche, come la simmetria rotazionale attorno al suo asse.

E così via