Ellisse

L'ellisse è una figura piana definita come il luogo dei punti in cui la somma delle distanze da due punti fissi F₁ e F₂, chiamati fuochi, è costante ed è maggiore della distanza tra i due fuochi.

Data un'ellisse con fuochi F₁ e F₂, per ogni punto P sull'ellisse, la somma delle distanze PF₁+PF₂ è costante.

$$ \overline{PF_1} + \overline{PF_1} = 2a $$

Ad esempio, se considero un punto qualsiasi P dell'ellisse e sommo le distanze del punto rispetto ai fuochi F₁ e F₂ ottengo sempre un valore costante k=2a

Gli assi di un'ellisse sono le due linee perpendicolari A₁A₂ e B₁B₂ che attraversano il suo centro (O), chiamate rispettivamente asse maggiore e asse minore.

L'asse maggiore è l'asse più lungo dell'ellisse, mentre l'asse minore è il più corto.

Il punto medio dell'asse maggiore è chiamato centro dell'ellisse.

Quando i due assi coincidono (a=b), l'ellisse diventa un cerchio.

I punti A₁, A₂, B₁, B₂ sono detti vertici dell'ellisse.

Dal punto di vista geometrico l'ellisse è una conica perché si ottiene facendo intersecare un piano orientato con un cono, in modo da formare un angolo compreso tra θ e π/2 rispetto all'asse del cono.

La formula dell'ellisse

L'ellisse ha una formula standard, detta equazione canonica dell'ellisse, quando è centrata sull'origine del sistema di coordinate cartesiane:

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

Dove "a" è la metà della lunghezza dell'asse maggiore e "b" è la metà della lunghezza dell'asse minore, x e y sono le coordinate di un punto P qualsiasi dell'ellisse.

• Se a > b l'ellisse è orientata lungo l'asse x
• Se a < b l'ellisse è orientata lungo l'asse y
• Se a = b l'ellisse è un cerchio

Le formule per trovare le coordinate dei fuochi in una ellisse cambiano a seconda della relazione tra i semiassi "a" e "b".

• Se a>b $$ F_1 ( - \sqrt{ a^2 - b^2 } ;0 ) $$ $$ F_2 ( \sqrt{ a^2 - b^2 } ;0 ) $$
• Se a<b $$ F_1 (0; - \sqrt{ b^2 - a^2 } ) $$ $$ F_2 ( 0; \sqrt{ b^2 - a^2 } ) $$

Dove "a" e "b" sono le lunghezze dei semiassi dell'ellisse.

I vertici dell'ellisse, invece, si trovano alle seguenti coordinate (x;y)

$$ A_1 ( -a; 0) $$

$$ A_2 ( a; 0) $$

$$ B_1 ( 0; -b) $$

$$ B_2 ( 0; b) $$

Questi ultimi sono i punti di intersezione con gli assi cartesiani.

La forma più o meno schiacciata dell'ellisse è detta eccentricità (e) ed è determinata dalla seguente formula

• Se a>b la formula dell'eccentricità è $$ e = \frac{c}{a} $$
• Se a<b la formula dell'eccentricità è $$ e = \frac{c}{b} $$
• Se a=b si può usare indiferentemente una delle precedenti formule

In entrambi i casi, poiché c<a e c<b deduco che l'eccentricità è un parametro compreso tra 0 e 1.

$$ 0 \le e < 1 $$

Quanto più l'eccentricità tende a 1, tanto più l'ellisse è schiacciata sull'asse x.

Un esempio pratico

Provo a costruire una ellisse considerando come semiasse orizzontale e verticale a=2 e b=1

$$ a = 1 $$

$$ b=1 $$

Per semplicità il centro dell'ellisse coincide con l'origine degli assi cartesiani O(0;0).

Quindi, sapendo che a=2 e b=1, i vertici dell'ellisse sono A₁(-2;0), A₂(2;0), B₁(0;-1), B₂(0;1),

Per trovare i fuochi dell'ellisse utilizzo le formule seguenti:

$$ \begin{cases} F_1 ( - \sqrt{ a^2 - b^2 } ;0 ) \\ \\ F_2 ( \sqrt{ a^2 - b^2 } ;0 ) \end{cases} $$

Sostituisco in entrambe i valori dei semiassi a=2 e b=1

$$ \begin{cases} F_1 ( - \sqrt{ 2^2 - 1^2 } ;0 ) \\ \\ F_2 ( \sqrt{ 2^2 - 1^2 } ;0 ) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} F_1 ( - \sqrt{ 4 - 1 } ;0 ) \\ \\ F_2 ( \sqrt{ 4 - 1 } ;0 ) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} F_1 ( - \sqrt{ 3 } ;0 ) \\ \\ F_2 ( \sqrt{ 3 } ;0 ) \end{cases} $$

Pertanto la distanza dei fuochi dal centro dell'ellisse è c=√3

I due fuochi dell'ellisse si trovano alle coordinate F₁(-√3;0) e F₂(√3;0)

A questo punto, una volta noto il valore "c", posso calcolare l'eccentricità dell'ellisse.

Poiché a>b utilizzo la formula seguente

$$ e = \frac{c}{a} = \frac{ \sqrt{3} }{2} ≈ 0.86 $$

Infine, utilizzo l'equazione canonica dell'ellisse per trovare i vari punti dell'ellisse.

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

$$ \frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1 $$

$$ \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 $$

Ricavo la componente y

$$ y^2 = 1-\frac{x^2}{4} $$

Poi applico la radice quadrata in entrambi i membri dell'equazione

$$ \sqrt{y^2} = \sqrt{ 1-\frac{x^2}{4}} $$

$$ y = \pm \sqrt{ 1-\frac{x^2}{4}} $$

In questa forma l'equazione mi permette di trovare la componente y di ogni punto a partire dalla componente x nell'intervallo [-a,a] ossia [-2,2].

x	y
-2	0
-1	±0.86
0	±1
1	±0.86
2	0

Questi sono i punti appena trovati

Già da questi pochi punti posso immaginare la forma dell'ellisse.

Ripetendo i calcoli posso trovare altri punti dell'ellisse per completare il disegno.

Nota. In questo esempio ho utilizzato Geogebra per costruire l'ellisse. E' un buon metodo per imparare le proprietà dell'ellisse "sul campo" provando a cambiare i valori dei semiassi.

La dimostrazione

Le ellissi più semplici sono quelle che hanno il centro O nell'origine degli assi cartesiani e i fuochi sull'asse x delle ascisse o sull'asse y delle ordinate.

A] Ellisse con i fuochi sull'asse x

In questo caso i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse e l'asse maggiore è l'asse orizzontale ossia a>b.

$$ a>b $$

Per ipotesi i fuochi si trovano alle coordinate F₁(-c;0) e F₂(c;0) alla stessa distanza dal centro dell'ellisse.

I due fuochi distano tra loro 2c.

$$ \overline{F_1F_2} = 2c $$

Per definizione l'ellisse è il luogo dei punti per i quali la somma delle distanze ai due fuochi è costante.

$$ \overline{PF_1} + \overline{PF_2} = k $$

Qual è il valore della costante k?

Per scoprirlo prendo in considerazione come punto P il vertice A₂ sull'asse maggiore x

In questo caso la distanza dai fuochi è la seguente.

$$ \overline{A_2F_1} = a-c $$

$$ \overline{A_2F_2} = a+c $$

Sommo le due distanze e ottengo il valore k=2a

$$ \overline{A_2F_1} + \overline{A_2F_2} = k $$

$$ (a-c) + (a+c) = k $$

$$ a-c + a+c = k $$

$$ 2a = k $$

Poiché il valore k è costante per qualsiasi punto dell'ellisse, deduco che la somma delle distanze PF₁+PF₂ è sempre uguale a 2a

$$ \overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2a $$

Come trovare le coordinate dei fuochi?

Per capirlo prendo in considerazione il vertice B₂ sull'asse minore y sapendo che k=2a.

La somma delle distanze del punto B₂ dai fuochi è uguale a 2a

$$ \overline{B_2F_1} + \overline{B_2F_2} = 2a $$

In questo caso la distanza da ciascun fuoco è la stessa, perché il punto B₂ giace su un asse di simmetria dell'ellisse.

$$ \overline{B_2F_1} = \overline{B_2F_2} = a $$

Questo significa che la distanza (d=a) tra un vertice sull'asse y e uno dei fuochi è la metà della lunghezza dell'asse maggiore (2a).

A questo punto per calcolare il valore della componente c applico il Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo OB₂F₂ sapendo che l'ipotenusa è d=a mentre i cateti hanno lunghezze pari ad "a" e "c"

$$ a^2 = b^2 + c^2 $$

Questo mi permette di ricavare la componente "c"

$$ c^2 = a^2 - b^2 $$

$$ \sqrt{ c^2 } = \sqrt{ a^2 - b^2 } $$

$$ c = \sqrt{ a^2 - b^2 } $$

Pertanto, le coordinate dei fuochi sono le seguenti

$$ F_1 ( - \sqrt{ a^2 - b^2 } ;0 ) $$

$$ F_2 ( \sqrt{ a^2 - b^2 } ;0 ) $$

Come si ottiene l'equazione dell'ellisse?

Considero un punto P(x;y) qualsiasi lungo l'ellisse.

Utilizzando il teorema di Pitagora posso calcolare le distanze del punto P dai fuochi F₁ e F₂ dell'ellisse

$$ d_1 = \sqrt{(x+c)^2+y^2} $$

$$ d_2 = \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$

Sapendo che in ogni punto P dell'ellisse la somma delle distanze d₁+d₂ è costante ed è uguale a 2a

$$ d_1 + d_2 = 2a $$

$$ \sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a $$

Se manipolo algebricamente la somma usando la relazione d₁+d₂=2a e il teorema di Pitagora c²=a²-b², dopo alcune semplificazioni e rielaborazioni che possono diventare un po' laboriose, arrivo all'equazione canonica dell'ellisse

Sposto una delle due radici nel membro di destra

$$ \sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a - \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$

Elevo entrambi i membri al quadrato

$$ ( \sqrt{(x+c)^2+y^2} )^2 = ( 2a - \sqrt{(x-c)^2+y^2} )^2 $$

$$ (x+c)^2+y^2 = 4a^2 - 2 \cdot 2a \cdot \sqrt{(x-c)^2+y^2} + ( \sqrt{(x-c)^2+y^2} )^2 $$

$$ (x+c)^2+y^2 = 4a^2 - 4a \cdot \sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2 $$

Sviluppo i quadrati dei binomi

$$ x^2+2xc+c^2+y^2 = 4a^2 - 4a \cdot \sqrt{(x-c)^2+y^2} + x^2-2xc+c^2+y^2 $$

Poi semplico

$$ 2xc = 4a^2 - 4a \cdot \sqrt{(x-c)^2+y^2} -2xc $$

$$ 2xc + 2xc - 4a^2 = - 4a \cdot \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$

$$ 4xc - 4a^2 = - 4a \cdot \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$

Elevo al quadrato entrambi i membri dell'equazione per eliminare la radice quadrata

$$ ( 4xc - 4a^2 )^2 = (- 4a \cdot \sqrt{(x-c)^2+y^2} )^2 $$

$$ 16x^2c^2 +16a^4- 32a^2xc = 16 a^2 \cdot [ (x-c)^2+y^2 ] $$

Divido entrambi i membri dell'equazione per 16

$$ \frac{ 16x^2c^2 +16a^4- 32a^2xc}{16} = \frac{ 16 a^2 \cdot [ (x-c)^2+y^2 ] } {16} $$

$$ x^2c^2 +a^4- 2a^2xc = a^2 \cdot [ (x-c)^2+y^2 ] $$

$$ \frac{ x^2c^2 +a^4- 2a^2xc }{a^2} = (x-c)^2+y^2 $$

$$ \frac{ x^2c^2}{a^2} + \frac{a^4}{a^2}- \frac{2a^2xc}{a^2} = (x-c)^2+y^2 $$

$$ \frac{ x^2c^2}{a^2} + a^2 - 2xc = (x-c)^2+y^2 $$

Sviluppo il quadrato del binomio e semplifico

$$ \frac{ x^2c^2}{a^2} + a^2 - 2xc = x^2+c^2-2xc+y^2 $$

$$ \frac{ x^2c^2}{a^2} + a^2 = x^2+c^2+y^2 $$

Sposto i termini noti nel membro di destra

$$ \frac{ x^2c^2}{a^2}-x^2-y^2 = c^2- a^2 $$

$$ x^2 \cdot ( \frac{ c^2}{a^2}-1) -y^2 = c^2- a^2 $$

$$ x^2 \cdot ( \frac{ c^2-a^2}{a^2}) -y^2 = c^2- a^2 $$

Sapendo che c²=a²-b² sostituisco c²-a²=-b²

$$ x^2 \cdot \frac{ -b^2}{a^2}-y^2 = -b^2 $$

$$ - \frac{ x^2b^2}{a^2}-y^2 = -b^2 $$

Poi moltiplico entrambi i membri per -1 in modo da cambiare il segno

$$ [- \frac{ x^2b^2}{a^2}-y^2 ] \cdot (-1) = -b^2 \cdot (-1) $$

$$ \frac{ x^2b^2}{a^2}+y^2= b^2 $$

Infine, divido entrambi i membri per b²

$$ \frac{1}{b^2} \cdot [ \frac{ x^2b^2}{a^2}+y^2 ]= \frac{1}{b^2} \cdot b^2 $$

$$ \frac{ x^2b^2}{a^2b^2}+ \frac{y^2}{b^2}= 1 $$

Il risultato finale è l'equazione canonica dell'ellisse.

$$ \frac{ x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}= 1 $$

Dove x e y sono le coordinate di un punto qualsiasi P dell'ellisse mentre a e b sono le lunghezze dei semiassi dell'ellisse.

B] Ellisse con i fuochi sull'asse y

In questo caso i fuochi si trovano sull'asse y delle ordinate e l'asse verticale dell'ellisse è più lungo dell'asse orizzontale. Quindi, l'ipotesi di partenza è

$$ b > a $$

I due fuochi si trovano alle coordinate F₁(0;-c) e F₂(0;c) alla stessa distanza dal centro dell'ellisse.

La lunghezza dell'asse maggiore è 2b.

Quindi, la somma delle distanze di ogni punto P deve essere uguale a 2b.

$$ \overline{PF_1} + \overline{PF_2} =2b $$

La dimostrazione che la somma è uguale a 2b è simile al caso precedente.

Se considero il punto B₂, le distanze dai due fuochi sono le seguenti:

$$ \overline{B_2F_1} = b+c $$

$$ \overline{B_2F_2} = b-c $$

Sommo le due distanze e ottengo il valore k=2b

$$ \overline{B_2F_1} + \overline{B_2F_2} = k $$

$$ (b+c) + (b-c) = k $$

$$ b+c + b-c = k $$

$$ 2b = k $$

Sapendo che in una ellisse la somma delle distanze dai fuochi è sempre costante, deduco che la somma sia 2b in ogni punto dell'ellisse.

Poiché b>a, in questo caso i fuochi dell'ellisse si trovano sull'asse y

$$ F_1 (0; - \sqrt{ b^2 - a^2 } ) $$ $$ F_2 ( 0; \sqrt{ b^2 - a^2 } ) $$

L'equazione canonica per tracciare l'ellisse è sempre la stessa.

$$ \frac{ x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}= 1 $$

Valgono le stesse proprietà e considerazioni già fatte nella dimostrazione precedente.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note a margine sulle ellissi

• L'ellisse è una conica, come le iperbole e le parabole, perché può essere ottenuta come sezione facendo intersecare un piano con un cono circolare.
• Se l'ellisse ha un'eccentricità pari a zero (e=0) coincide con una circonferenza e i due fuochi si trovano entrambi al centro della circonferenza.
• Ogni corda che passa per il centro dell'ellisse è detta "diametro"
• La proprietà focale dell'ellisse
  In ogni punto P di una ellisse la bisettrice dell'angolo formato dai segmenti che congiungono il punto con i fuochi F₁ e F₂ è perpendicolare alla tangente del punto P sulla curva.

E così via.