Postulato di De Zolt

Un solido non può essere equivalente a una sua parte.

Questo postulato afferma che se considero un solido, questo non può avere lo stesso volume di una sua parte, cioè una porzione strettamente contenuta al suo interno. Dove "equivalente" significa "avente lo stesso volume".

Pertanto, un solido o una figura geometrica non può avere lo stesso volume di una sua parte.

Esempio

Se un solido A è equivalente una parte di un altro solido B, si può dire che B è maggiore di A

$$ B > A $$

In alternativa si può anche dire che il solido B è prevalente su A.

Nota. Il postulato di De Zolt viene spesso discusso nel contesto della teoria delle grandezze geometriche di Giuseppe Peano e nella formalizzazione della geometria elementare. Fu proposto da Luigi De Zolt nel XIX secolo come condizione necessaria per evitare paradossi come quello di Banach - Tarski che emergono in contesti non euclidei o con assiomi di scelta. Secondo il paradosso di Banach-Tarski, assumendo l'assioma della scelta, è possibile dividere una sfera solida in un numero finito di parti non misurabili (prive di volume), e ricomporle, senza deformarle, in due sfere identiche all’originale. Quindi, il paradosso di De Zolt può sembrare un postulato terra-terra... ma salva da molti paradossi che, pur essendo matematicamente validi, contrastano con la realtà.

Si tratta di un principio fondamentale della teoria dell’equivalenza tra figure geometriche e per garantire la coerenza intuitiva del concetto stesso di volume.

Serve a evitare il paradosso per cui si possa "smontare" un solido in pezzi e "rimontarlo" in modo da ottenere un solido di volume maggiore.

Un esempio pratico

Considero una scatola cubica di lato 10 cm. Il suo volume sarà:

$$ V = 10^3 = 1000\ \text{cm}^3 $$

Ora prendo un cubo più piccolo, che sta dentro la scatola, tipo uno con lato 5 cm.

$$ V_{\text{piccolo}} = 5^3 = 125\ \text{cm}^3 $$

Questi due oggetti possono mai avere lo stesso volume? Ma ovviamente no!

È proprio questo il punto del postulato de De Zolt.

Poiché 125 ≠ 1000 un cubo non può essere equivalente a una sua parte.

Nota. È una conclusione apparentemente banale, vero? Ma serve proprio a evitare che, attraverso assiomi matematicamente validi, si arrivi a risultati assurdi come affermare che, tagliando una scatola in due parti e ricombinandole in modo opportuno, si possano ottenere due scatole identiche a quella originale. Il postulato, quindi, ha il compito di impedire che certi "escamotage" teorici conducano a conclusioni che violano il senso comune e la realtà fisica.

Note

Alcune note a margine e osservazioni personali sul postulato di De Zolt.

• Versione bidimensionale del postulato di De Zolt
  Esiste anche una versione bidimensionale del postulato: 

  Un poligono non può essere equivalente (cioè avere la stessa area) a una sua parte propria.

  Il concetto è sempre lo stesso ma riferito alla superficie di una figura geometrica anziché al volume.

• Il posulato di De Zolt è una scelta razionale o troppo prudente?
  La storia della matematica è piena di rivoluzioni che sono andate contro l’intuizione: dai numeri immaginari ai transfiniti, dalla topologia alla meccanica quantistica. Ogni volta l’intuito è stato smentito, spiazzato, e ricostruito da capo. Il postulato di De Zolt è un’ipotesi conservatrice per tenere tutto sotto controllo. E' sicuramente una scelta prudente, sì, ma anche una scelta che preferisce chiudere la porta alla complessità piuttosto che affrontarla.

  Secondo i critici più serveri, il postulato è in realtà un vero e proprio rifiuto epistemologico. È come se, di fronte al primo paradosso apparente, invece di approfondire la natura della conoscenza matematica, si decidesse di affermare: “Non può succedere, punto”.

  D'altra parte, va anche detto che De Zolt operava in un'epoca (XIX secolo) in cui la matematica si stava ancora consolidando come linguaggio rigoroso della realtà fisica, e un postulato che proteggesse il legame stretto tra figura e misura era considerato necessario. È solo con l’avvento dell’analisi moderna e della logica formale del XX secolo che la matematica ha potuto affrontare anche l'inimmaginabile.

E così via.