Sfera
La sfera un solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro. E' una figura geometrica perfettamente simmetrica.
La rotazione di 360° della semicirconferenza traccia la superficie sferica.
Il punto C è il centro della sfera ed è equidistante da ogni punto della superficie sferica.
Il raggio della semicirconferenza determina il raggio della sfera ossia il segmento che congiunge il centro della sfera con i punti della superficie sferica.
Allo stesso modo, posso considerare la sfera come un solido di rotazione ottenuto tramite la rotazione di 180° di un cerchio. Il risultato finale è lo stesso.
La sfera può essere definita anche come l'insieme di tutti i punti nello spazio (luogo geometrico) che si trovano a una distanza minore o uguale da un punto comune chiamato centro (C).
I primi a studi della sfera risalgono all'antichità. Matematici greci come Platone e Archimede furono i primi a studiare le proprietà della sfera. In particolar modo, Archimede scoprì formule fondamentali per calcolare il volume e l'area superficiale delle sfere. La sfera ha avuto un ruolo significativo anche nella filosofia e nella cosmologia. Per i filosofi greci, la sfera rappresentava la perfezione, l'armonia e l'universo. Questo simbolismo si trova anche in alltre culture, dove la sfera è spesso associata ai concetti di completezza e infinito.
Le formule
Le principali formule per calcolare le metriche di una sfera:
- Superficie sferica
L'area superficiale di una sfera è data dalla formula $$ 4πr^2 $$ dove r è il raggio della sfera. - Volume
Il volume di una sfera è proporzionale al cubo del suo raggio ed è dato dalla formula seguente: $$ \frac{4}{3}πr^3$$
La sfera nella geometria analitica
In geometria analitica, la sfera è rappresentata da un'equazione che definisce tutti i punti nello spazio che hanno una distanza costante da un punto fisso, il centro.
L'equazione standard di una sfera con centro nel punto (x0,y0,z0) e raggio r è la seguente:
$$ (x−x_0)^2+(y−y_0)^2+(z−z_0)^2=r^2 $$
Dove (x,y,z) sono le coordinate di un punto qualsiasi dello spazio.
Questa equazione è una generalizzazione dell'equazione del cerchio nel piano cartesiano, estesa alla terza dimensione.
Se la sfera è centrata nell'origine O(0,0,0) del piano l'equazione si riduce a
$$ x^2 + y^2 +z^3 = r^2 $$
Ecco un esempio pratico di sfera costruita al centro del piano cartesiano con un raggio unitario.
L'equazione della sfera può essere espressa anche tramite le coordinate polari
$$ \begin{cases} x = x_0 + r \sin \theta \cos \theta \\ \\ y = y_0 + r \sin \theta \sin \theta \\ \\ z = z_0 + r \cos \theta \end{cases} $$
Osservazioni
Alcune osservazioni a margine sulla sfera
- Sezioni
Qualsiasi intersezione tra un piano e una sfera è un cerchio. Se il piano passa per il centro, la circonferenza è massima.
- Corda
Una corda della sfera è un segmento che congiunge due punti qualsiasi distinti sulla superficie della sfera. - Diametro
Il diametro della sfera è il doppio del raggio. Consiste in una corda passante per il centro della sfera. $$ d = 2r $$ - Piano esterno, tangente e secante di una sfera
Un piano α rispetto a una sfera Σ di centro C e raggio r è detto- esterno se la distanza tra il piano α e la sfera Σ è maggiore del raggio r. Il piano e la sfera non hanno punti in comune
- tangente se la distanza tra il piano α e la sfera Σ è uguale al raggio r.
- secante se la distanza tra il piano α e la sfera Σ è minore del raggio r.
- Iperper-sfera (o n-sfera)
Generalizzazione della sfera a dimensioni superiori. Una 4-sfera è l'analogo quattro-dimensionale della sfera ordinaria.
E così via.
