Sfera

La sfera un solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro. E' una figura geometrica perfettamente simmetrica.

La rotazione di 360° della semicirconferenza traccia la superficie sferica.

Il punto C è il centro della sfera ed è equidistante da ogni punto della superficie sferica.

Il raggio della semicirconferenza determina il raggio della sfera ossia il segmento che congiunge il centro della sfera con i punti della superficie sferica.

Allo stesso modo, posso considerare la sfera come un solido di rotazione ottenuto tramite la rotazione di 180° di un cerchio. Il risultato finale è lo stesso.

La sfera può essere definita anche come l'insieme di tutti i punti nello spazio (luogo geometrico) che si trovano a una distanza minore o uguale da un punto comune chiamato centro (C).

La superficie sferica, invece, è il luogo geometrico dei punti che hanno la distanza dal centro uguale al raggio della sfera.

I primi a studi della sfera risalgono all'antichità. Matematici greci come Platone e Archimede furono i primi a studiare le proprietà della sfera. In particolar modo, Archimede scoprì formule fondamentali per calcolare il volume e l'area superficiale delle sfere. La sfera ha avuto un ruolo significativo anche nella filosofia e nella cosmologia. Per i filosofi greci, la sfera rappresentava la perfezione, l'armonia e l'universo. Questo simbolismo si trova anche in alltre culture, dove la sfera è spesso associata ai concetti di completezza e infinito.

Le formule

Le principali formule per calcolare le metriche di una sfera:

• Superficie sferica
  L'area superficiale di una sfera è data dalla formula $$ 4πr^2 $$ dove r è il raggio della sfera.

  Nota. L'area della sfera è quattro volte l'area del cerchio massimo. $$ 4 \cdot \pi r^2 $$
  
  Si può anche dimostrare che l'area della sfera è equivalente alla superficie laterale $ A_L $ del cilindro circoscritto alla sfera. $$ A_L = C \cdot h = 2 \pi r \cdot 2r = 4 \pi r^2 $$
  

• Volume
  Il volume di una sfera è proporzionale al cubo del suo raggio ed è dato dalla formula seguente: $$ \frac{4}{3}πr^3$$

Le calotte della sfera

Una calotta sferica è una parte della superficie di una sfera compresa tra un piano secante e la sfera stessa.

Quando un piano (π) interseca una sfera, divide la sua superficie in due parti: ciascuna di queste prende il nome di calotta o calotta sferica.

Ogni calotta è caratterizzata da tre elementi fondamentali:

• La base: è la circonferenza che ottengo tramite 'intersezione tra il piano e la sfera. E' un cerchio con centro nel punto C.
• Il vertice (V): è il punto della sfera più distante dal piano, allineato con il centro della base lungo il diametro della sfera.
• L’altezza (h): è la distanza tra il vertice (V) della calotta e il centro (C) della base. Questa altezza è sempre perpendicolare al piano della base.

Il diametro VV' della sfera che passa per il centro (C) della base è anche l’asse di simmetria della calotta. Questo asse attraversa la calotta verticalmente e la divide in due parti uguali.

Alcuni casi particolari

Se il piano (π) passa esattamente per il centro (O) della sfera, le due calotte risultanti sono emisferi congruenti.

In questo caso particolare, ogni calotta non è più una semplice porzione curva, ma esattamente la metà della superficie della sfera.

Se invece il piano (π) è tangente alla sfera, la calotta scompare e resta solo un punto V sulla superficie della sfera.

Nota. La calotta sferica ha diverse proprietà geometriche. Ad esempio, mantiene la simmetria e la curvatura originale della sfera, con un vertice e una base ben definiti.

L'area della calotta sferica

L'area della calotta sferica si calcola tramite la formula

$$ A= 2 \pi R h $$

Dove $ R $ è il raggio della sfera e $ h $ è l'altezza della calotta.

Esempio

Immagino una sfera con raggio \( R = 5\,cm \). Se taglio la sfera esattamente a metà, ottengo una calotta con $  h = R = 5\,cm $.

Applicando la formula ottengo la superficie della calotta

\[ A = 2 \pi R h = 2 \pi \cdot 5 \cdot 5 = 50 \pi \approx 157.08\,cm^2 \]

E' esattamente l’area della metà della superficie sferica.

Dimostrazione. L’area della superficie sferica è:  \[ A_{\text{totale}} = 4 \pi R^2 \]  Questa formula rappresenta l’intera superficie di una sfera di raggio \( R \). Se divido la sfera a metà con un piano passante per il centro, ottengo un emisfero, la cui superficie è esattamente la metà: \[ A_{\text{emisfero}} = 2 \pi R^2 \] Ora osservo un caso particolare: una calotta sferica la cui altezza \( h \) è esattamente uguale al raggio \( R \) della sfera. In altre parole, la calotta coincide con l’intero emisfero. Sostituendo nella formula generica della calotta o della zona: \[ S = 2 \pi R h \] e ponendo \( h = R \), ottengo: \[ S = 2 \pi R  \cdot R = 2 \pi R^2 \] che corrisponde perfettamente all’area dell’emisfero trovata in precedenza. Questo conferma che la formula \( S = 2 \pi R h \) è corretta anche nei casi estremi, come quello di una calotta emisferica.

Di conseguenza, l’area della zona sferica è equivalente all’area della superficie laterale di un cilindro che abbia lo stesso raggio della sfera e un’altezza uguale a quella della calotta. Anche la superficie laterale di un cilindro è $ S_L = 2 \pi R h $

La zona sferica

La zona sferica è la parte di superficie sferica delimitata da due piani paralleli secanti.

I due piani intersecano la sfera in due circonferenze chiamate basi della zona, tagliando la superficie sferica in tre parti distinte. 

La parte compresa tra i due piani prende il nome di zona sferica. È una sorta di fascia curva, avvolgente, che si sviluppa tra due “tagli” circolari sulla sfera.

Nota. In altre parole, se immagino la sfera come il globo terrestre, è come tracciare due linee di latitudine distinte, la zona sferica è l'anello compreso tra di esse.

Il diametro della sfera che passa per il segmento $ PQ $ che unisce i centri $ P $ e $ Q $ delle due basi è detto asse di simmetria della zona, mentre la distanza tra i centri delle due basi prende il nome di altezza della zona e si indica con \( h \).

L'area della zona sferica

L’area \( S \) di una zona sferica si calcola con la stessa formula usata per una calotta sferica:

\[ S = 2 \pi R h \]

Dove \( R \) è il raggio della sfera e \( h \) è l’altezza della zona ossia la distanza tra i due piani che la delimitano.

Nota. Di fatto, la calotta sferica è un caso particolare di zona sferica, in cui uno dei due piani coincide con l’estremo della sfera, cioè taglia la sfera tangenzialmente. Per questa ragione la formula per il calcolo dell’area è esattamente la stessa, anche in questo caso l’area dipende solo dal raggio della sfera e dall’altezza della porzione curva.

Esempio

Considerio una sfera con raggio \( R = 10\,cm \) e due piani paralleli che tagliano la sfera generando una zona sferica alta \( h = 4\,cm \).

L'area della zona sferica è circa \( 251.33\,cm^2 \)

$$ S = 2 \pi R h = 2 \pi \cdot 10 \cdot 4 = 80 \pi \approx 251.33\,cm^2 $$

Nota. L’area della zona sferica può essere assimilata all’area della superficie laterale di un cilindro che abbia lo stesso raggio della sfera e un’altezza uguale a quella della zona. Anche la superficie laterale di un cilindro è $ S_L = 2 \pi R h $

Il fuso sferico

Il fuso sferico è una porzione della superficie di una sfera delimitata da due semipiani che passano per il centro della sfera.

Gli elementi principali del fuso sferico sono:

• Diedro del fuso: è l'angolo solido (α) formato dai due semipiani.
• Arco equatoriale: è l’arco di circonferenza massima (simile all’equatore) contenuto nel fuso.
• Lati del fuso: sono le semicirconferenze individuate dai due semipiani sulla superficie della sfera.

In parole semplici, un fuso sferico assomiglia a una "fetta" di arancia, tagliata lungo i suoi spicchi.

La superficie del fuso sferico

L'area del fuso dipende dall'ampiezza del diedro. Posso calcolarla in due modi:

• Se l'angolo del diedro è espresso in radianti: \[ S_f = 2 \alpha_{\text{rad}} R^2 \]
• Se l'angolo del diedro è espresso in gradi:  \[ S_f = \frac{\alpha^\circ}{90^\circ} \pi R^2 \]

Dove \( S_f \) è l'area del fuso, \( R \) è il raggio della sfera, \( \alpha_{\text{rad}} \) è l'ampiezza del diedro in radianti, \( \alpha^\circ \) è l'ampiezza del diedro in gradi.

L'importante è ricordare che l'area dipende direttamente dalla misura dell’angolo diedro (α), proporzionata all’intera superficie della sfera.

Dimostrazione. L'area totale della superficie di una sfera è: \[ A_{\text{totale}} = 4\pi R^2 \] Il fuso rappresenta una frazione di quest'area, proporzionale all'ampiezza del diedro. Quindi, in radianti: la proporzione è tra \( \alpha_{\text{rad}} \) e \( 2\pi \) (l’angolo completo). \[ A_{\text{fuso}} = 4\pi R^2 \cdot \frac{ \alpha_{\text{rad}} }{2 \pi} =2\alpha_{\text{rad}} R^2  \] In gradi: la proporzione è tra \( \alpha^\circ \) e \( 360^\circ \), \[ A_{\text{fuso}} = 4\pi R^2 \cdot \frac{ \alpha_{\text{rad}} }{360°} = \frac{\alpha^\circ}{90^\circ} \pi R^2  \]

Esempio

Devo calcolare l'area di un fuso sferico di una sfera di raggio \( R = 5 \, \text{cm} \), con diedro di \( 60^\circ \). Applico la formula:

\[ S_f = \frac{60^\circ}{90^\circ} \pi R^2 = \frac{2}{3} \pi (5)^2 \]

\[ S_f = \frac{2}{3} \pi \times 25 = \frac{50}{3} \pi \, \text{cm}^2 \]

L'area del fuso è circa \( 52,36 \, \text{cm}^2 \).

Esempio 2

Una sfera ha raggio \( 10 \, \text{cm} \). Un fuso ha un diedro di \( \frac{\pi}{4} \, \text{radianti} \). Ora calcolo l'area del fuso usando la formula in radianti:

\[ S_f = 2 \alpha_{\text{rad}} R^2 = 2 \times \frac{\pi}{4} \times 10^2 \]

\[ S_f = \frac{\pi}{2} \times 100 = 50\pi \, \text{cm}^2 \]

Pertanto, l'area del fuso è circa \( 157,08 \, \text{cm}^2 \).

La sfera nella geometria analitica

In geometria analitica, la sfera è rappresentata da un'equazione che definisce tutti i punti nello spazio che hanno una distanza costante da un punto fisso, il centro.

L'equazione standard di una sfera con centro nel punto (x₀,y₀,z₀) e raggio r è la seguente:

$$ (x−x_0)^2+(y−y_0)^2+(z−z_0)^2=r^2 $$

Dove (x,y,z) sono le coordinate di un punto qualsiasi dello spazio.

Questa equazione è una generalizzazione dell'equazione del cerchio nel piano cartesiano, estesa alla terza dimensione.

Se la sfera è centrata nell'origine O(0,0,0) del piano l'equazione si riduce a

$$ x^2 + y^2 +z^3 = r^2 $$

Ecco un esempio pratico di sfera costruita al centro del piano cartesiano con un raggio unitario.

L'equazione della sfera può essere espressa anche tramite le coordinate polari

$$ \begin{cases} x = x_0 + r \sin \theta \cos \theta \\ \\ y = y_0 + r \sin \theta \sin \theta \\ \\ z = z_0 + r \cos \theta \end{cases} $$

Osservazioni

Alcune osservazioni a margine sulla sfera

• Sezioni
  Qualsiasi intersezione tra un piano e una sfera è un cerchio. Se il piano passa per il centro, la circonferenza è massima.
  
• Corda
  Una corda della sfera è un segmento che congiunge due punti qualsiasi distinti sulla superficie della sfera.
• Diametro
  Il diametro della sfera è il doppio del raggio. Consiste in una corda passante per il centro della sfera. $$ d = 2r $$
• Piano esterno, tangente e secante di una sfera
  Un piano α rispetto a una sfera Σ di centro C e raggio r è detto
  • esterno se la distanza tra il piano α e la sfera Σ è maggiore del raggio r. Il piano e la sfera non hanno punti in comune
  • tangente se la distanza tra il piano α e la sfera Σ è uguale al raggio r.
  • secante se la distanza tra il piano α e la sfera Σ è minore del raggio r.
• Iperper-sfera (o n-sfera)
  Generalizzazione della sfera a dimensioni superiori. Una 4-sfera è l'analogo quattro-dimensionale della sfera ordinaria.
• Teorema dei segmenti tangenti a una sfera da un punto esterno
  I segmenti tangenti a una sfera condotti da un punto P esterno alla sfera sono tra loro congruenti $ \overline{AP} \cong \overline{BP} \cong \overline{CP} \cong \overline{DP} $ Tutti i segmenti tangenti alla sfera condotti dallo stesso punto P formano un cono su base circolare.
  

E così via.