Iperbole

L'iperbole è una curva piana in cui la differenza delle distanze di ogni punto P dai due punti fissi F₁ e F₂, chiamati fuochi, è costante (2a) in valore assoluto. $$ | \overline{PF}_1 - \overline{PF}_2 | = 2a $$ Dove 2a è la distanza tra i due vertici dell'iperbole.

Una iperbole è una curva aperta suddivisa in due rami che tendono a infinito lungo la direzione di due rette oblique dette asintoti.

I due vertici (-a;0) e (a;0) dell'iperbole distano tra loro un segmento lungo 2a.

La distanza tra ogni vertice e il centro dell'iperbole è, invece, pari ad "a".

Se prendo due punti qualsiasi P₁ e P₂ dell'iperbole la differenza delle loro distanze dai fuochi in valore assoluto è sempre la stessa.

In altre parole ogni coppia di punti dell'iperbole soddisfa questa relazione

$$ | \overline{P_1F_1} - \overline{P_1F_2} | = | \overline{P_2F_1} - \overline{P_2F_2} | $$

Nota. L'iperbole è una conica perché può essere ottenuta sezionando un cono circolare con un piano che abbia un angolo minore all'apertura del cono.

Le caratteristiche

L'iperbole è un luogo geometrico dove i punti del piano soddisfano una specifica proprietà, quella di mantenere costante la differenza rispetto a due punti fissi F₁ e F₂ detti fuochi.

La retta che passa tra i fuochi F₁ e F₂ è detta asse principale (o asse trasverso).

I punti di intersezione A₁ e A₂ dell'iperbole con l'asse principale sono detti vertici reali.

Nota. In alcuni testi per "asse trasverso" si intende anche il segmento tra i vertici reali A₁ e A₂ ossia la distanza tra i due vertici che è sempre pari a 2a. $$ \overline{A_1A_2} = 2a $$ In questi casi, per semiasse trasverso si intende la distanza "a" tra un vertice e il centro O dell'iperbole. $$ \overline{OA_1} = \overline{OA_2} = a $$

L'asse del segmento F₁F₂ è, invece, detto asse secondario (o asse non trasverso).

I due punti B₁ e B₂ sull'asse secondario sono detti vertici non reali, perché non sono punti di intersezione dell'iperbole ma contribuiscono a determinare l'inclinazione degli asintoti.

Il punto di intersezione O dei due assi, principale e secondario, è detto centro dell'iperbole.

Nel grafico i termini "a", "b" e "c" indicano rispettivamente le distanze dal centro O dei vertici reali, non reali e dei fuochi.

Gli asintoti sono le rette oblique che passano per il centro dell'iperbole O e sono tangenti alla curva all'infinito.

L'equazione canonica dell'iperbole

Per rappresentare un'iperbole è comune utilizzare un sistema di riferimento cartesiano in cui:

• il centro dell'iperbole corrisponde all'origine O(0;0)
• l'asse principale dell'iperbole, quello che passa attraverso i fuochi F₁ e F₂, coincide con l'asse delle ascisse x o con l'asse delle ordinate y.

Questa semplificazione mi permette di usare l'equazione canonica dell'iperbole.

$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \pm 1 $$

Dove "a" e "b" sono le semidistanze tra i vertici dell'iperbole.

• Se l'asse principale è l'asse x, il termine noto dell'equazione canonica è +1 $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
• Se l'asse principale è l'asse y, il termine noto dell'equazione canonica è -1 $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $$

In altre parole, a seconda se i fuochi F₁ e F₂ si trovino sull'asse delle ascisse (x) o delle ordinate (y), il termine noto dell'equazione canonica dell'iperbole è +1 oppure -1.

In alternativa, posso usare anche l'equazione dell'iperbole in forma esplicita.

$$ y = \pm \sqrt{ b^2 \cdot ( \frac{x^2}{a^2}-1 ) } \ \ \ \ \text{fuochi sull'asse x}$$

$$ y = \pm \sqrt{ b^2 \cdot ( \frac{x^2}{a^2}+1 ) } \ \ \ \ \text{fuochi sull'asse y}$$

In base alla scelta dell'asse principale, i fuochi dell'iperbole sono situati nelle seguenti coordinate:

• Se l'asse principale è l'asse x $$ F_1(-c;0 ) $$ $$ F_2(c;0 ) $$
• Se l'asse principale è l'asse y $$ F_1(0;-c ) $$ $$ F_2(0;c ) $$

Dove "c" è la distanza dei fuochi dal centro dell'iperbole.

$$ c = \sqrt{a^2+b^2} $$

Nota. Se l'asse principale è l'asse x, il valore "c" è sempre maggiore di "a" (c>a). Viceversa, se l'asse principale è l'asse y, il valore "c" è sempre maggiore di "b" (c>b).

Gli asintoti dell'iperbole sono le rette individuate dalle seguenti equazioni

$$ y = \pm \frac{b}{a} x $$

In questo caso semplificato gli asintoti dell'iperbole passano sempre per l'origine O(0;0) degli assi cartesiani e, rispettivamente, per il punto (a;b) o il punto (a;-b).

Infine, l'eccentricità (e) dell'iperbole si misura tramite il rapporto tra la distanza dei fuochi (c) e dei vertici reali (a) dal centro.

$$ e = \frac{c}{a} $$

Quanto più è alto il valore "e" tanto più i rami dell'iperbole sono aperti.

Nota. A differenza dell'ellisse, nel caso dell'iperbole l'eccentricità è sempre un valore maggiore di 1 ossia e>1 perché la distanza dei fuochi dal centro è sempre maggiore della distanza dei vertici.

Un esempio pratico

Considero un iperbole con i fuochi nell'asse x, il centro nell'origine degli assi cartesiani O(0;0) e con a=3 e b=4

Per prima cosa individuo i punti (a;b)=(3;4) e (a;-b)=(3;-4)

Poi traccio le rette passanti per il centro dell'iperbole e per i due punti (3;4) e (3;-4).

In questo modo ottengo gli asintoti dell'iperbole.

Per trovare gli asintoti avrei potuto anche utilizzare l'equazione in forma esplicita.

$$ y = \pm \frac{b}{a} \cdot x $$

Sostituisco a=3 e b=4

$$ y = \pm \frac{4}{3} \cdot x $$

Una volta tracciati gli asintoti, trovo i vertici dell'iperbole.

In questo caso i fuochi si trovano sull'asse x, quindi i vertici reali dell'iperbole sono A₁(-a;0) e A₂(a;0) e quelli non reali B₁(0;-b) e B₂(0;b)

Sapendo che a=3 e b=4 i vertici reali si trovano alle coordinate A₁(-3;0) e A₂(3;0) mentre i vertici non reali alle coordinate B₁(0;-4) e B₂(0;4)

A questo punto devo calcolare le coordinate (x;y) dei fuochi dell'iperbole.

I fuochi si trovano alla distanza "c" dal centro dell'iperbole che trovo usando questa formula

$$ c = \sqrt{a^2+b^2} $$

Sostituisco a=3 e b=4

$$ c = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $$

Poiché l'asse principale è l'asse x, i fuochi si trovano alle seguenti coordinate F₁(-c;0) e F₂(c;0) dove c=5

$$ F_1(-5;0) $$

$$ F_2(5;0) $$

Aggiungo i due fuochi F₁(-5;0) e F₂(5;0) al piano cartesiano.

Infine, posso trovare gli altri punti dell'iperbole usando l'equazione canonica dell'iperbole.

$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

In questo caso il termine noto dell'equazione è +1 perché i fuochi dell'iperbole si trovano sull'asse x.

Ricavo y in funzione di tutto il resto.

$$ - \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2} $$

$$ - y^2 = b^2 \cdot ( 1 - \frac{x^2}{a^2}) $$

Moltiplico entrambi i membri dell'equazione per -1 per avere il segno positivo della y

$$ - y^2 \cdot (-1) = b^2 \cdot ( 1 - \frac{x^2}{a^2}) \cdot (-1) $$

$$ y^2 = - b^2 \cdot ( 1 - \frac{x^2}{a^2}) $$

$$ y^2 = b^2 \cdot ( \frac{x^2}{a^2}-1) $$

Per la proprietà invariantiva calcolo la radice quadrata in entrambi i membri dell'equazione

$$ \sqrt{ y^2 } = \sqrt{ b^2 \cdot ( \frac{x^2}{a^2}-1) } $$

$$ y = \pm \sqrt{ b^2 \cdot ( \frac{x^2}{a^2}-1 ) } $$

Sostituisco i parametri a=3 e b=4 dell'iperbole.

$$ y = \pm \sqrt{ 4^2 \cdot ( \frac{x^2}{3^2}-1 ) } $$

$$ y = \pm \sqrt{ 16 \cdot ( \frac{x^2}{9}-1 ) } $$

In questo modo posso trovare la componente y di ogni punto (x;y) a partire dalla componente "x" nell'intervallo (-∞,-a]∪[a,∞) ossia (-∞,-3]∪[3,∞).

x	y
-5	±5.33
-4	±3.53
-3	0
3	0
4	±3.53
5	±5.33

Questi sono i punti appena trovati che già danno l'idea approssimativa della forma dell'iperbole.

Per rendere il grafico più preciso non resta altro da fare che calcolare le coordinate degli altri punti.

Nota. Come già detto l'iperbole è il luogo geometrico in cui ogni punto ha la stessa differenza delle distanze tra i fuochi in valore assoluto. Arrivato a questo punto posso verificare questa proprietà. Considero due punti P e Q dell'iperbole e calcolo le rispettive distanze dai fuochi. Il punto P (blu) dista 3.62 da F₁ e 9.62 da F₂. Quindi, la differenza assoluta delle distanze è |9.62-3.62|=6. Il punto Q (rosso) dista 2.37 da F₁ e 8.37 da F₂. Anche in questo caso la differenza assoluta delle distanze è uguale a 6 perché |8.37-2.37|=6. Lo stesso vale per qualsiasi altro punto dell'iperbole.

Esempio 2

In questo esempio calcolo l'iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinate y e il centro nell'origine degli assi cartesiani O(0;0), usando gli stessi parametri a=3 e b=4 dell'esercizio precedente.

Gli asintoti sono le rette che passano per l'origine e per i punti (a;b) o (a;-b) ossia (3;4) o (3;-4).

Come si può notare gli asintoti sono sempre gli stessi.

Anche i vertici dell'iperbole sono gli stessi ma, in questo caso, i vertici reali sono B₁(0;-b) e B₂(0;b) mentre quelli non reali sono A₁(-a;0) e A₂(a;0)

In altre parole, in questo caso la curva dell'iperbole passa per i punti B₁ e B₂.

Sapendo che a=3 e b=4, i vertici reali si trovano alle coordinate B₁(0;-4) e B₂(0;4) mentre i vertici non reali alle coordinate A₁(-3;0) e A₂(3;0)

I fuochi dell'iperbole si trovano sempre alla distanza "c" dal centro dell'iperbole.

La formula per calcolare la distanza è sempre la stessa.

$$ c = \sqrt{a^2+b^2} $$

Sostituisco a=3 e b=4

$$ c = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $$

In questo caso, però, l'asse principale è l'asse y.

Quindi, le coordinate dei fuochi sono diverse dall'esercizio precedente. Sono F₁(0;-c) e F₂(0;c) con c=5

$$ F_1(0;-5) $$

$$ F_2(0;5) $$

Aggiungo i due fuochi F₁(0;-5) e F₂(0;5) nel grafico.

A questo punto posso cercare i vari punti dell'iperbole usando l'equazione canonica dell'iperbole.

$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $$

In questo caso il termine noto dell'equazione è -1 perché i fuochi dell'iperbole si trovano sull'asse y.

Ricavo y in funzione di tutto il resto.

$$ y = \pm \sqrt{ b^2 \cdot ( \frac{x^2}{a^2}+1 ) } $$

Sostituisco a=3 e b=4

$$ y = \pm \sqrt{ 4^2 \cdot ( \frac{x^2}{3^2}+1 ) } $$

$$ y = \pm \sqrt{ 16 \cdot ( \frac{x^2}{9}+1 ) } $$

Poi la utilizzo per trovare le coordinate (x;y) di alcuni punti nell'intervallo (-∞,∞).

x	y
-2	±4.81
-1	±4.22
0	0
1	±4.22
2	±4.81
3	±5.66

Queste prime coordinate (x;y) mi danno già l'idea della forma dell'iperbole.

Il risultato finale è una iperbole con i fuochi sull'asse y.

La dimostrazione

Considero il caso in cui i fuochi F1(-c;0) e F2(c;0) siano allineati sull'asse x delle ascisse e il centro dell'iperbole sia l'origine degli assi cartesiani.

Per trovare l'equazione canonica dell'iperbole, scelgo un qualsiasi punto P(x;y) dell'iperbole

In una iperbole la differenza delle distanze del punto tra i due fuochi è uguale a 2a.

$$ \overline{PF_1} - \overline{PF_2} = 2a $$

Perché la differenza delle distanze è uguale a 2a? Per definizione in qualsiasi punto di un'iperbole la differenza delle distanze è costante in valore assoluto e i fuochi si trovano alla distanza "c" dal centro.

Se considero il punto A₂, la distanza del punto dal fuoco F₂ è c-a e dal fuoco F₁ è a+c $$ \overline{A_2F_2} = c-a $$ $$ \overline{A_2F_1} = a+c $$ Ora calcolo la differenza tra le distanze $$ \overline{A_2F_1} - \overline{A_2F_2} = k $$ $$ (a+c) - (c-a) = k $$ $$ a+c-c+a = k $$ $$ 2a = k $$

Tornando al punto P

Utilizzo il teorema di Pitagora per calcolare le distanze del punto P dai fuochi.

$$ d_1 = \overline{PF_1} = \sqrt{(x+c)^2+y^2} $$

$$ d_2 = \overline{PF_2} = \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$

Quindi, posso scrivere la differenza delle distanze anche in questo modo equivalente.

$$ \overline{PF_1} - \overline{PF_2} = 2a $$

$$ \sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a $$

Sposto una delle due radici nel membro a destra.

$$ \sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a + \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$

Poi elevo entrambi i membri dell'equazione alla seconda.

$$ ( \sqrt{(x+c)^2+y^2} ) = ( 2a + \sqrt{(x-c)^2+y^2} )^2 $$

$$ (x+c)^2+y^2 = (2a)^2 + 2 \cdot ( 2a \sqrt{(x-c)^2+y^2} ) + (\sqrt{(x-c)^2+y^2} )^2 $$

$$ (x+c)^2+y^2 = (2a)^2 + 2 \cdot ( 2a \sqrt{(x-c)^2+y^2} ) + (\sqrt{(x-c)^2+y^2} )^2 $$

$$ (x+c)^2+y^2 = 4a^2 + 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2 $$

$$ (x+c)^2 = 4a^2 + 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2 $$

Ora sviluppo il quadrato dei binomi (x+c)² e (x-c)² fuori dalla radice e semplifico

$$ x^2+2xc+c^2 = 4a^2 + 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} + x^2-2xc+c^2 $$

$$ 2xc = 4a^2 + 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} -2xc $$

$$ 2xc - 4a^2 +2xc = 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$

$$ 4xc - 4a^2 = 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$

Divido entrambi i membri dell'equazione per 4

$$ \frac{ 4xc - 4a^2}{4} = \frac{ 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} }{4} $$

$$ xc - a^2 = a \sqrt{(x-c)^2+y^2} $$

Elevo al quadrato entrambi i membri dell'equazione per togliere la radice.

$$ ( xc - a^2 )^2 = ( a \sqrt{(x-c)^2+y^2} )^2 $$

$$ x^2c^2-2xca^2+a^4 = a^2 \cdot [(x-c)^2+y^2 ] $$

$$ x^2c^2-2xca^2+a^4 = a^2 \cdot ( x^2-2xc+c^2+y^2 ) $$

$$ x^2c^2-2xca^2+a^4 = x^2a^2-2xca^2+a^2c^2+a^2y^2 $$

Poi semplifico

$$ x^2c^2+a^4 = x^2a^2+a^2c^2+a^2y^2 $$

Divido entrambi i membri dell'equazione per a²

$$ \frac{ x^2c^2+a^4}{a^2} = \frac{ x^2a^2+a^2c^2+a^2y^2 }{a^2} $$

$$ \frac{x^2c^2}{a^2}+a^2 = x^2+c^2+y^2 $$

Sposto i termini noti del membro di destra dell'equazione e le incognite a sinistra.

$$ \frac{x^2c^2}{a^2} -x^2 -y^2= c^2-a^2 $$

Metto in evidenza x²

$$ x^2 \cdot ( \frac{c^2}{a^2} - 1) -y^2 = c^2-a^2 $$

$$ x^2 \cdot ( \frac{c^2-a^2}{a^2}) -y^2 = c^2-a^2 $$

A questo punto, sapendo che c>a pongo c²-a²=b²

$$ x^2 \cdot ( \frac{b^2}{a^2}) -y^2 = b^2 $$

$$ \frac{x^2b^2}{a^2} -y^2 = b^2 $$

Spiegazione. Costruisco un rettangolo con lati 2a e 2b centrato sul centro dell'iperbole, poi traccio una diagonale e ottengo un triangolo rettangolo che ha "c" per ipotenusa mentre "a" e "b" sono i cateti. Per il teorema di Pitagora c²=a²+b². Quindi, c²-a²=b².

Poi divido entrambi i membri dell'equazione per b²

$$ \frac{1}{b^2} \cdot [ \frac{x^2b^2}{a^2} -y^2 ] = \frac{1}{b^2} \cdot b^2 $$

$$ \frac{ x^2b^2 }{a^2b^2} - \frac{ y^2 }{b^2} = 1 $$

$$ \frac{ x^2 }{a^2} - \frac{ y^2 }{b^2} = 1 $$

Il risultato finale è l'equazione canonica dell'iperbole quando i fuochi si trovano sull'asse x e il centro dell'ellisse coincide con l'origine O(0;0) degli assi cartesiani.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note a margine sull'iperbole

• Iperbole equilatera
  L'iperbole equilatera è un caso particolare di iperbole in cui a=b. Nell'iperbole equilatera i vertici reali sull'asse trasverso (A₁, A₂) e quelli non reali sull'asse non trasverso (B₁,B₂) hanno la stessa distanza dal centro dell'iperbole.
  
• Una retta interseca l'iperbole in non più di due punti reali.
• Se la retta interseca l'iperbole in due punti distinti è detta retta secante all'iperbole.
• Se la retta interseca l'iperbole in un solo punto è detta retta tangente all'iperbole.
• In un punto P qualsiasi del piano possono passare al massimo due rette tangenti all'iperbole.
• In un punto P dell'iperbole passa una sola retta tangente.
• Quando una retta non interseca l'iperbole in nessun punto, è detta retta esterna all'iperbole.
• Proprietà focale dell'iperbole
  In un punto P dell'iperbole la retta tangente e la retta normale (ossia perpendicolare alla tangente nel punto P) sono le bisettrici delle rette passanti per P e per i fuochi dell'iperbole. Questo significa che dividono l'angolo formato dalle rette passanti per P e per i fuochi in due angoli uguali.

E così via.