Il quadrato di un quadrinomio
Il quadrato di un quadrinomio \( a + b + c + d \) si calcola applicando la formula del quadrato della somma di quattro termini.
$$ (a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + \\ + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd $$
Dove:
- \( a^2, b^2, c^2, \) e \( d^2 \) sono i quadrati dei singoli termini.
- \( 2ab, 2ac, 2ad, 2bc, 2bd, \) e \( 2cd \) sono i doppi prodotti incrociati tra i vari termini.
Nota. In alternativa, il quadrato del quadrinomio può essere calcolato come il quadrato (A+B)2 di due polinomi A=(a+b) e B=(c+d) $$ (a+b+c+d)^2 $$ $$ = [ (a+b) + (b+c)]^2 $$ $$ = [A+B]^2 $$ $$ =A^2 + 2AB + C $$ $$ = (a+b)^2 + 2(a+b)(a+b) + (a+c)^2 $$
Esempio pratico
Prendo come esempio il quadrinomio \( 2 + 3x + y + 5z \). Il quadrato di questo quadrinomio è:
$$ (2 + 3x + y + 5z)^2 $$
Sviluppo il quadrinomio sando la formula
$$ 2^2 + (3x)^2 + y^2 + (5z)^2 + 2(2)(3x) + 2(2)(y) + 2(2)(5z) + 2(3x)(y) + 2(3x)(5z) + 2(y)(5z) $$
$$ 4 + 9x^2 + y^2 + 25z^2 + 12x + 4y + 20z + 6xy + 30xz + 10yz $$
Questo è il quadrato del quadrinomio dato.
La dimostrazione
Considero il quadrato di un quadrinomio
$$ (a + b + c + d)^2 $$
Posso riscrivere il quadrato come il prodotto del quadrinomio per se stesso.
$$ (a+b+c+d) \cdot (a+b+c+d) $$
Svolgo i calcoli algebrici
$$ a \cdot (a+b+c+d) + b \cdot (a+b+c+d) + c \cdot (a+b+c+d) + d \cdot (a+b+c+d) $$
$$ a^2+ab+ac+ad + ab+b^2+bc+bd + ac+bc+c^2+cd + ad+bd+cd+d^2 $$
$$ a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd $$
E così via.
