Addizione e sottrazione tra polinomi

L’addizione e la sottrazione tra polinomi sono operazioni molto semplici se affrontate con metodo. Basta scrivere i polinomi tra parentesi, usando il segno + per la somma e il segno − per la differenza. Poi si tolgono le parentesi e si riducono i termini simili. Ad esempio $$ (a+b)+(b+c) = a+b+b+c = a+2b+c $$

Nota. Quando si toglie una coppia di parentesi preceduta da un segno meno, bisogna sempre ricordarsi di cambiare il segno a tutti i termini all’interno. Ad esempio $$ (a+b)-(b+c) = a+b-b-c = a-c $$

Come si somma due polinomi

Per sommare due polinomi, scrivo i polinomi tra parentesi, separati da un +. Poi tolgo le parentesi e sommo i termini simili.

Esempio pratico

Devo calcolare la somma dei polinomi:

\[ (2a + 3b - c) + (-a + 2b - 3c) \]

Tolgo le parentesi:

\[ 2a + 3b - c -a + 2b - 3c \]

Raggruppo i termini simili:

\[ (2a-a) + (3b + 2b)+ (- c  - 3c) \]

Infine, svolgo i calcoli

\[ a + 5b  -4c \]

In questo caso la somma dei due polinomi è un trinomio.

Come sottrarre due polinomi

Per sottrarre due polinomi, scrivo i polinomi tra parentesi, separati dal segno meno −. Poi tolgo le parentesi, invertendo tutti i segni del secondo polinomio. Infine, sommo i termini simili.

Esempio pratico

Devo calcolare la differenza dei polinomi:

\[ (2a + 3b - c) - (-a + 2b - 3c) \]

Tolgo le parentesi, cambiando i segni del secondo polinomio:

\[ 2a + 3b - c + a - 2b + 3c \]

Raggruppo i termini simili:

\[ (2a+ a) + (3b- 2b) + (- c  + 3c) \]

Infine, sommo i termini simili e ottengo

\[ 3a + b + 2c \]

Ho così ottenuto la differenza dei due polinomi.

Note

Alcune osservazioni sulla somma e la differenza dei polinomi

• La somma e la differenza tra polinomi sono operazioni interne all'insieme dei polinomi
  Sia la somma che la differenza tra polinomi restituiscono come risultato un altro polinomio. Quindi, sono operazioni interne all'insieme dei polinomi.
• Addizione algebrica
  Le due operazioni possono essere viste come un una sola, ossia come l'addizione algebrica che segue una regola generale. Questo perché la differenza tra due polinomi può essere considerata come la somma tra il primo polinomio e l'opposto del secondo polinomio.

  Esempio. Considero la differenza tra polinomi \[ (x - 4) - (x - 2) = x-4-x+2= -2 \] L'opposto del secondo polinomio è \( (-x+2) \). Quindi la differenza posso scriverla anche come la somma tra il primo polinomio e l'opposto del secondo polinomio. Il risultato finale è sempre lo stesso. \[ (x - 4) + (-x + 2) = x-4-x+2 = -2 \]

• La somma di due polinomi opposti è il polinomio nullo
  La somma di due polinomi opposti è il polinomio nullo, cioè 0.

  Esempio: \[ (x - 2) + (-x + 2) = 0 \]

• La differenza tra due polinomi uguali è il polinomio nullo
  La differenza di due polinomi uguali è sempre il polinomio nullo, cioè 0.

  Esempio: \[ (x^2 + 3x) - (x^2 + 3x) = 0 \]

E così via.