Retta tangente a una curva
Data una retta secante $ s $ a una curva in due punti distinti $ P $ e $ Q $, la retta tangente $ t $alla curva nel punto $ P $ è la posizione limite della secante quando il punto $ Q $ tende al punto $ P $ lungo la curva.
La retta tangente a una curva in un punto è la retta che, in prossimità di quel punto, segue la stessa direzione della curva.
In altre parole è la retta che descrive localmente l’andamento della curva in quel punto.
Non è necessario che la retta tangente intersechi la curva in un solo punto. Nelle curve generiche, infatti, la tangente può anche attraversare la curva in altri punti di intersezione.
Tuttavia, in alcuni casi particolari, come la circonferenza e l’ellisse, la retta tangente ha un solo punto di contatto con la curva.
Esempio, In una circonferenza, la retta tangente in un punto è la retta che tocca la circonferenza in quel solo punto ed è perpendicolare al raggio $ r $ condotto al punto di tangenza $ P $. In questo caso, la retta tangente $ t $ passa sempre per un solo punto della circonferenza.
L'equazione della retta tangente tramite le derivate
Se la curva è il grafico di una funzione \( y=f(x) \) e voglio trovare la tangente nel punto di ascissa \( x_0 \), allora devo conoscere la derivata della funzione in quel punto.
La derivata \( f'(x_0) \) è il coefficiente angolare della retta tangente.
Quindi l’equazione della tangente è
\( y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \)
oppure
\( y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \)
Esempio
Considero la parabola
\( f(x)=x^2 \)
Voglio trovare la retta tangente nel punto \( x_0=1 \).
Calcolo il punto della curva:
\( f(1)=1^2=1 \)
Quindi il punto è \( P(1,1) \)
Trovo l'equazione generica che passa per quel punto
\[ (y-y_0)=m \cdot (x-x_0) \]
Dove $ x_0=1 $ e $ y_0=1 $ sono le coordinate del punto $ P $.
\[ (y-1)=m \cdot (x-1) \]
Poi calcolo la derivata:
\( f'(x)=2x \)
Nel punto \( x_0=1 \):
\( f'(1)=2 \)
Quindi la tangente ha coefficiente angolare \( m=2 \).
Sostituisco $ m $ nell’equazione della retta:
\( y-1=2(x-1) \)
Infine, scrivo la retta in forma esplicita.
\( y-1=2x-2 \)
\( y=2x-1 \)
Quindi la retta tangente alla parabola \( y=x^2 \) nel punto \( P(1,1) \) è
\( y=2x-1 \)
La tangente descrive il comportamento locale della funzione nel punto $ P $.
E così via.
