Area di un poligono circoscritto a una circonferenza
L'area di un poligono circoscritto a una circonferenza è uguale al prodotto tra il semiperimetro (p) del poligono per il raggio (r) della circonferenza. $$ A = p \cdot r $$ Dove per semiperimetro 2p=P intendo la metà del perimetro (P) ossia p=P/2
In altre parole, l'area di un poligono circoscritto a una circonferenza si ottiene moltiplicando il perimetro per il raggio della circonferenza inscritta diviso 2.
$$ A = \frac{P \cdot r}{2} $$
Indicando il perimetro come due volte il semiperimetro P=2p e semplificando, ottengo la formula iniziale.
$$ A = \frac{2p \cdot r}{2} $$
$$ A = p \cdot r $$
In questo modo posso calcolare l'area (A) del poligono a partire dal raggio (r) della circonferenza e dal semiperimetro del poligono.
Nota. In un poligono regolare il raggio della circonferenza è anche noto come apotema o inraggio.
La spiegazione
Considero un poligono con il perimetro circoscritto a una circonferenza
Ad esempio, un esagono.
Suddivido l'esagono in 6 triangoli che hanno il lato (l) del poligono come base e il raggio (r) della circonferenza come altezza.
L'area di ogni triangolo si calcola semplicemente moltiplicando la base per l'altezza diviso due, in questo caso lato per raggio diviso 2.
$$ \frac{l \cdot r}{2} $$
Quindi, l'area del poligono è uguale alla somma delle aree dei triangoli.
$$ A = \frac{ \overline{AB} \cdot r }{2} + \frac{ \overline{BC} \cdot r }{2} + \frac{ \overline{CD} \cdot r }{2} + \frac{ \overline{DE} \cdot r }{2} + \frac{ \overline{EF} \cdot r }{2} + \frac{ \overline{AF} \cdot r }{2} $$
$$ A = \frac{ ( \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DE} + \overline{EF} + \overline{AF} ) \cdot r }{2} $$
Il numeratore è il perimetro P del poligono moltiplicato per il raggio (r)
$$ A = \frac{ P \cdot r }{2} $$
Esprimo il perimetro come doppio semiperimetro P=2p
$$ A = \frac{ 2p \cdot r }{2} $$
Poi semplifico
$$ A = p \cdot r $$
In questo ho ottenuto la formula che volevo dimostrare
Dimostrazione geometrica. Sviluppando il perimetro come cateto di un triangolo rettangolo e il raggio come altro cateto, l'area del triangolo è la stessa del poligono.
Osservazioni
Alcune osservazioni aggiuntive
- Le formule inverse
La formula dell'area di un poligono circoscritto $$ A = p \cdot r $$ mi permette di ricavare alcune formule inverse molto utili. Posso ricavare il raggio conoscendo l'area (A) e il semiperimetro (p) $$ r = \frac{A}{p} $$ oppure il semiperimetro conoscendo l'area (A) e il raggio (r) $$ p = \frac{A}{r} $$
E così via
