L'area del rettangolo
L'area del rettangolo si calcola moltiplicando la base per l'altezza $$ A = b \ × \ h $$ 
L'area di un rettangolo è un concetto molto semplice da comprendere e calcolare.
Per illustrarlo, basta immaginare un rettangolo come una stanza. L'area di questa stanza (o del rettangolo) si calcola moltiplicando la lunghezza per la larghezza della stanza.
Ad esempio, se la stanza è lunga 5 metri e larga 3 metri, per trovare l'area, moltiplico 5 metri (lunghezza) per 3 metri (larghezza).
Quindi, l'area del rettangolo sarà di 15 metri quadrati. Questo calcolo è utile, ad esempio, per sapere quanto pavimento occorre per coprire tutta la superficie della stanza.
$$ A = 5 \ metri \ × \ 3 \ metri = 15 \ metri \ quadrati \ (mq) $$
In modo più formale posso anche scrivere:
$$ A = 5 \ m × 3 \ m = 15 \ m^2 $$
In forma generale, se indico con L la lunghezza e con l la larghezza del rettangolo, l'area A si calcola semplicemente con la formula A=L×l.
$$ Area = Lunghezza \ × \ larghezza $$
Questo metodo di calcolo è diretto e universale per qualsiasi rettangolo.
La dimostrazione
Per dimostrare questa formula considero un quadrato Q con lato di lunghezza uguale all'unità di misura u=1 metro.
Pertanto, questo quadrato rappresenta 1 metro quadrato, ovvero l'unità di misura dell'area U = 1 mq.
$$ U = 1 \ mq = 1 \ m^2 $$
Ora considero due rettangoli, il primo rettangolo R' con la larghezza pari all'unità di misura (u=1 m) e altezza h.
Il secondo rettangolo R'' con la larghezza b a piacere e la stessa altezza h del rettangolo precedente.
$$ A' = \frac{h \cdot m^2}{1 \ m} $$
Questi due rettangoli R' e R'' hanno rispettivamente le aree A' e A'' al momento sconosciute.
Tuttavia, hanno la stessa altezza h (congruente), quindi l'unica cosa che cambia è la larghezza. Quindi le loro aree sono direttamente proporzionali alla loro larghezza.
$$ A'' : A' = b:u $$
Conosco la larghezza del rettangolo R' perché per l'ipotesi iniziale è uguale all'unità di misura u=1 m.
$$ A'' : A' = b:1 \ m $$
Pertanto, applicando le proprietà delle proporzioni, deduco che l'area A'' del rettangolo R'' è uguale al prodotto tra l'area A' del rettangolo R' e la base (b)
$$ A'' = b \cdot A' \cdot m $$
Resta però da capire quanto vale l'area A' del rettangolo R'.
Per farlo, faccio un passo indietro e confronto il rettangolo R' con il quadrato Q.
Il rettangolo R' e il quadrato Q hanno la stessa base (u=1 m), quindi le loro aree sono direttamente proporzionali alle loro altezze.
$$ A' : U = h : u $$
Sapendo che U=1 mq e u=1.
$$ A' : 1 \ m^2 = h : 1 \ m $$
Usando le proprietà delle proporzioni:
$$ \frac{A'}{1 \ m^2} = \frac{h}{1 \ m} $$
Per la proprietà invariantiva delle equazioni moltiplico entrambi i membri per 1 m2
$$ \frac{A'}{1 \ m^2} \cdot m^2 = \frac{h}{1 \ m} \cdot m^2 $$
$$ A' = h \cdot m $$
Da questo deduco che A'=h metri
$$ A' = h \cdot m $$
Una volta trovato quanto vale l'area del rettangolo R' ossia A'=h·m, la sostituisco nella proporzione precedente.
$$ A'' = b \cdot A' \cdot m $$
$$ A'' = b \cdot ( h \cdot m ) \cdot m $$
$$ A'' = b \cdot h \cdot m^2 $$
ovvero
$$ A'' = b \cdot h \ mq $$
Questo dimostra che l'area del rettangolo R' è uguale al prodotto tra la base (b) per l'altezza (h) ed è misurata in metri quadrati.
E così via.
