Poligoni equivalenti

Due poligoni si dicono poligoni equivalenti quando hanno la stessa area.

La caratteristica principale dei poligoni equivalenti risiede nella loro area, che è identica per entrambi.

I poligoni equivalenti possono anche differire per forma e dimensioni. Possono essere regolari, irregolari, convessi o concavi, ecc.

L'importante è che l'area sia la stessa, ovvero che abbiano la stessa estensione di superficie sul piano.

Nota. Il concetto di equivalenza tra due poligoni coincide con quello di equiestensione.

Da questo deduco che due poligoni equivalenti sono anche poligoni equicomposti.

In altre parole, posso dividere i poligoni in parti più piccole e ogni parte di un poligono è congruente a una parte dell'altro poligono, e viceversa.

Questo mi permette interessanti applicazioni pratiche e teoriche, come il calcolo di aree complesse tramite scomposizione in figure più semplici.

Con tecniche come il taglio e la riorganizzazione, un poligono può essere trasformato in un altro equivalente.

Questo concetto è spesso illustrato attraverso il teorema di Bolyai-Gerwien, che afferma che qualsiasi poligono può essere trasformato in qualsiasi altro poligono equivalente attraverso un numero finito di tagli e riorganizzazioni.

Criteri di equivalenza

In geometria esistono diversi criteri di equivalenza per stabilire se due poligoni sono equivalenti oppure no, senza calcolare l'area.

• Il teorema di equivalenza dei parallelogrammi
  Due parallelogrammi sono equivalenti se hanno la stessa base e altezza.
  
• Il teorema di equivalenza dei triangoli
  Due triangoli sono equivalenti se hanno la stessa base e la stessa altezza.
  
• Il teorema di equivalenza tra un triangolo e un parallelogramma
  Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che la stessa altezza e per base la metà della base del triangolo.
  
• Il teorema di equivalenza tra un triangolo e un trapezio
  Un trapezio è equivalente a un triangolo che ha la stessa altezza e per base la somma delle basi del trapezio.
• Il teorema di equivalenza tra un triangolo e un poligono circoscritto a una circonferenza
  Un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo che ha per altezza il raggio della circonferenza e per base il perimetro del poligono.
  

  Il caso dei poligoni regolari. Poiché tutti i poligoni regolari sono circoscrivibili a una circonferenza, deduco che tutti i poligoni regolari sono equivalenti a un triangolo con altezza uguale al raggio e base uguale al perimetro del poligono.

Sono solo alcuni dei criteri di equivalenza applicabili alle figure geometriche del piano.

L'equivalenza e l'equiscomponibilità

In generale, due poligoni equivalenti sono anche equiscomponibili ma non è detto il contrario.

La relazione di equivalenza in geometria è molto più generale e non riguarda solo l'area. Potrebbe anche essere il volume.

Due figure piane o solide sono "equivalenti" quando hanno la stessa misura a prescindere dalla loro forma.

• Nelle figure piane (es. poligoni) la misura è l'area ossia la loro estensione di superficie.
• Nei solidi (es. poliedri) la misura è, invece, il volume occupato nello spazio.

E' importante ricordarlo perché da questo si deduce che l'equivalenza non implica sempre l'equiscomponibilità.

Esempio. Due poligoni equivalenti possono essere suddivisi e riassemblati per trasformarne uno nell'altro mantenendo invariata l'area. Nel caso dei poliedri equivalenti che condividono lo stesso volume, la situazione è differente. In questo caso, non è garantito che due solidi con lo stesso volume possano essere scomposti e riorganizzati per ricreare reciprocamente la forma dell'altro.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note a margine

• Teorema di Bolyai-Gerwien
  Questo teorema afferma che ogni poligono può essere scomposto e ricomposto formando un poligono equivalente tramite un numero finito di tagli e riarrangiamenti.
• Poligono equivalente con un lato in meno
  Ogni poligono convesso può essere scomposto e ricomposto in un poligono equivalente con un lato in meno.
• Triangolo equivalente
  Ogni poligono convesso può essere trasformato in un poligono equivalente con un lato in meno. Quindi, reiterando più volte questo principio deduco che ogni poligono convesso con n>3 lati può essere ricondotto a un triangolo equivalente con la stessa superficie e la stessa area.

E così via