Pseudoscalari
Uno pseudoscalare è una quantità fisica che rimane invariata per rotazioni, come uno scalare, ma cambia segno dopo una trasformazione di parità, cioè sotto una riflessione spaziale.
In altre parole, uno pseudoscalare è uno scalare che sente l’orientamento dello spazio.
Per capire meglio in cosa consiste uno pseudoscalare, è utile chiarire il concetto di scalare.
La differenza tra scalare e pseudoscalare
Uno scalare è una grandezza descritta da un solo numero e non dipende dalla direzione, resta identica anche se si osserva il sistema allo specchio.
Alcuni esempi tipici di grandezze scalari sono la massa, la temperatura e l'energia.
Esempio. In un punto (x,y) di una superficie rilevo la temperatura di 22° gradi. Se inverto le coordinate dello spazio ($ x to -x $, $ y \to -y $) la temperatura nel punto (-x,-y) è sempre 22° gradi, non cambia. In altre parole, anche se guardo la superficie “allo specchio”, il valore della temperatura in quel punto rimane identico.
Uno pseudoscalare, invece, cambia segno quando effettuo un'inversione spaziale:
\[ (x, y, z) \rightarrow (-x, -y, -z) \]
Se una quantità vale \( S \), dopo la riflessione diventa:
\[ S \rightarrow -S \]
Quindi, pur essendo un numero (non un vettore), pseudoscalare dipende dall’orientazione dello spazio.
Un esempio pratico
Un esempio fondamentale di pseudoscalare è il prodotto scalare triplo:
\[ S = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) \]
Il valore $ S $ è uno scalare dal punto di vista matematico ma cambia segno sotto inversione spaziale.
Questo accade perché il prodotto vettoriale \( \vec b \times \vec c \) è uno pseudovettore, e il prodotto con un vettore ordinario $ \vec a $ produce uno pseudoscalare.
Geometricamente, questo numero rappresenta il volume orientato del parallelepipedo generato dai tre vettori.
Ad esempio,considero tre vettori nello spazio:
\[ \vec a = (1,0,0) \]
\[ \vec b = (0,1,0) \]
\[ \vec c = (0,0,1) \]
Il prodotto scalare triplo è
\[ S = \vec a \cdot (\vec b \times \vec c) \]
Calcolo prima il prodotto vettoriale:
\[ \vec b \times \vec c = (1,0,0) \]
Poi il prodotto scalare:
\[ S = \vec a \cdot (1,0,0) \]
\[ S = (1,0,0) \cdot (1,0,0) = 1 \]
Quindi il valore dello pseudoscalare è:
\[ S = 1 \]
Ora applico una trasformazione di parità, ossia un'inversione spaziale:
\[ (x,y,z) \to (-x,-y,-z) \]
I vettori diventano:
\[ \vec a' = (-1,0,0) \]
\[ \vec b' = (0,-1,0) \]
\[ \vec c' = (0,0,-1) \]
Calcolo nuovamente il prodotto scalare triplo
\[ S = \vec a' \cdot (\vec b' \times \vec c') \]
Ricalcolo il prodotto vettoriale:
\[ \vec b' \times \vec c' = (1,0,0) \]
e quindi:
\[ S = \vec a' \cdot (1,0,0) \]
\[ S = (-1,0,0) \cdot (1,0,0) \]
\[ S= -1 \]
Il valore numerico ha cambiato segno dopo l'inversione spaziale (operazione di parità).
\[ S = 1 \quad \longrightarrow \quad S' = -1 \]
Questo mostra che il prodotto scalare triplo è uno pseudoscalare, poiché rimane uno scalare dal punto di vista matematico, ma cambia segno sotto inversione spaziale, a differenza di un vero scalare come la temperatura.
Quale è il significato degli pseudoscalari in fisica?
Gli pseudoscalari compaiono spesso in fisica quando entra in gioco l’orientazione dello spazio, le teorie che violano la parità, quantità legate alla chiralità o all’asimmetria destra-sinistra.
E così via.
