Vettori linearmente dipendenti, paralleli o proporzionali
Per capire se due vettori sono vettori paralleli o proporzionali, nello spazio o nel piano, basta verificare se sono linearmente dipendenti.
Due vettori sono linearmente dipendenti se il rango della matrice composta dai vettori disposti in colonna è uguale o inferiore a 1. $$ r_k \le 1 $$
Questa regola vale sia sul piano che nello spazio.
In pratica, è indipendente dal numero degli elementi presenti nei due vettori.
Se due vettori sono linearmente dipendenti allora sono anche vettori paralleli e proporzionali.
Esempi
Esempio 1 ( piano )
Ho due vettori nel piano R2
$$ A = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$
$$ B = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \end{pmatrix} $$
Compongo una matrice con i due vettori
$$ M = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} $$
Poi calcolo il rango della matrice.
$$ r(M)=1 $$
Il rango è uguale a 1.
Quindi i due vettori sono linearmente dipendenti.
Sono proporzionali tra loro e sono detti vettori paralleli.
Esempio 2 ( spazio )
Ho due vettori nello spazio a 3 dimensioni R3
In questo caso i vettori hanno tre elementi.
$$ A = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ B = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Compongo una matrice con i due vettori
In questo caso è una matrice rettangolare
$$ M = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ -4 & 8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$
Poi calcolo il rango della matrice.
$$ r(M)=2 $$
Nota. Il rango della matrice M è uguale a 2 perché esiste un minore di ordine 2 con determinante diverso da zero.
In questo caso il rango è uguale a 2.
Quindi i due vettori non sono linearmente dipendenti.
Non sono proporzionali tra loro e non sono vettori paralleli.
Il caso di tre o più vettori
Bisogna però fare attenzione al caso di tre vettori perché la regola del rango minore o uguale a 1 vale solo se i vettori sono due.
Tre vettori sono linearmente dipendenti se il rango della matrice è minore o uguale a 2. $$ r_k \le 2 $$
Quindi, nello spazio a due dimensioni (R2) tre vettori sono sempre linearmente dipendenti.
Nello spazio a tre dimensioni (R3) invece tre vettori possono essere linearmente dipendenti oppure non esserlo.
La stessa osservazione vale per il caso di quattro vettori.
Quattro vettori sono linearmente dipendenti se il rango della matrice è minore o uguale a 3. $$ r_k \le 3 $$
Pertanto, la regola del rango uguale o inferiore a 1 vale solo se i vettori sono due.
Indipendentemente dal numero degli elementi nei vettori.
E' importante ricordarlo.
E così via.
