Vettori complanari nello spazio
Due o più vettori sono complanari se risiedono sullo stesso piano.
Tre vettori nello spazio sono complanari se sono linearmente dipendenti.
o alternativamente
Quattro punti P1,P2,P3,P4 dello spazio sono complanari se i vettori P1P2, P1P3, P1P4 sono linearmente dipendenti.
Per capire se i vettori sono linearmente dipendenti, applico la seguente regola.
N vettori sono linearmente dipendenti se il rango della matrice dei vettori disposti in colonna è uguale o inferiore a N-1.
$$ r_k ( v_1,...,v_n ) \le n-1 $$
Nota. Infatti, gli N vettori sono linearmente indipendente solo se il rango della matrice è uguale a N. Pertanto, se il rango è inferiore a N sono linearmente dipendenti.
Esempi
Esempio 1
Nello spazio R3 ho tre vettori
$$ A = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ B = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ C = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} $$
Secondo la regola, tre vettori (n=3) sono linearmente dipendenti se il rango della matrice composta dai vettori in colonna è uguale o inferiore a n-1 = 2.
$$ M = \begin{pmatrix} 3 & -6 & -2 \\ -4 & 8 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} $$
Il rango della matrice è uguale a 3.
Quindi, i vettori non sono complanari.
Esempio 2
Nello spazio R3 ho quattro punti:
$$ P_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ P_2 = \begin{pmatrix} 6 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ P_3 = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$
$$ P_4 = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Li trasformo in vettori
$$ P_1P_2 = \begin{pmatrix} 6 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ P_1P_3 = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ P_1P_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} $$
Sono gli stessi vettori dell'esercizio precedente.
Quindi, senza ripetere lo stesso procedimento, so già che non sono linearmente dipendenti e non sono complanari.
E così via.
