La somma e la differenza di vettori

In questi appunti spiego in modo semplice come si calcola la somma e la differenza di due vettori.

Come sommare due vettori

Dati due punti qualsiasi dello spazio vettoriale, i vettori associati ai due punti possono essere sommati tra loro. La somma di due vettori è un altro vettore. $$ P_1 P_2 = OP_1 + OP_S $$

Esempio

Prendo due vettori qualsiasi nello spazio V=R² del piano a due dimensioni.

$$ P_1 \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$ $$ P_2 \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Rappresento sul piano i due punti P₁ e P₂ con i relativi vettori OP₁ e OP₂.

Nota. Ogni punto del piano identifica un vettore passante per l'origine e ogni vettore identifica un punto del piano. Sono equivalenti.

La somma dei due vettori OP₁ e OP₂ è la seguente:

$$ OP_S = OP_1 + OP_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Posso rappresentare il nuovo vettore sul piano cartesiano.

Nota. Il punto Ps è ottenuto geometricamente anche usando il metodo del parallelogramma, aggiungendo ogni vettore al termine dell'altro.

Come sottrarre due vettori

Dati due punti qualsiasi dello spazio vettoriale, è possibile calcolare la differenza dei vettori associati ai due punti come differenza delle rispettive coordinate. $$ P_1P_2 = OP_1 + OP_S $$

Esempio

Nell'esempio precedente ho trovato il vettore somma OP_S.

Ora posso calcolare la differenza tra i vettori con alcuni semplici passaggi algebrici.

$$ OP_S = OP_1 + OP_2 $$

allora

$$ OP_1 = OP_S - OP_2 $$ $$ OP_2 = OP_S - OP_1 $$

Provo a calcolare OP₁ conoscendo OP_S e OP₂

$$ OP_1 = OP_S - OP_2 $$

Sapendo che

$$ OP_S = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$

$$ OP_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$

La rappresentazione cartesiana dei vettori è la seguente:

Posso rappresentare i vettori anche come combinazione lineare dei vettori i e j della base.

$$ OP_S = x_s \cdot i + y_s \cdot j $$

$$ OP_2 = x_2 \cdot i + y_2 \cdot j $$

Nota. Dove i e j sono i vettori unitari della base ossia $$ i = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ j = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ $$

Quindi

$$ OP_1 = ( x_s \cdot i + y_s \cdot j ) - ( x_2 \cdot i + y_2 \cdot j ) $$ $$ OP_1 = ( x_s - x_2 ) \cdot i + ( y_s - y_2 ) \cdot j $$

Le differenze tra i punti finali e iniziali x_s - x₂ e y_s - y₂ sono le coordinate del vettore geometrico OP₁.

I vettori i e j sono i vettori della base ortonormale.

$$ i = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$ j = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Pertanto

$$ OP_1 = ( x_s - x_2 ) i + ( y_s - y_2 ) j $$ $$ OP_1 = ( 4 - 3 ) i + ( 3 - 1 ) j $$ $$ OP_1 = ( 4 - 3 ) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + ( 3 - 1 ) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $$ OP_1 = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $$ OP_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} $$ $$ OP_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Il risultato della sottrazione è il vettore OP₁ alle coordinate (1,2).

Ho così calcolato le coordinate del vettore OP₁ rispetto alla base (i,j) del riferimento cartesiano RC(O,i,j).

E così via