Il reciproco di un numero complesso in forma trigonometrica
Il reciproco di un numero complesso z=r(cos α +i sin α) in forma trigonometrica è $$ \frac{1}{z} = \frac{1}{r} \cdot (\cos \alpha - i \cdot \sin \alpha) $$ o più in generale $$ z^{-n} = \frac{1}{r^n} \cdot (\cos n \cdot \alpha - i \cdot \sin n \cdot \alpha) $$
Per indicare il reciproco del numero complesso basta scrivere
$$ z^{-1} = \frac{1}{z} $$
Se l'esponente è un numero intero negativo minore di 1
$$ z^{-n} = \frac{1}{z^n} $$
Nota. In generale quando l'esponente è un numero intero negativo qualsiasi vale la seguente formula $$ z^{-n} = [r \cdot (\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha)]^{-n} $$ $$ z^{-n} = \frac{1}{[r \cdot (\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha)]^n} $$ $$ z^{-n} = \frac{1}{r^n \cdot (\cos n \alpha + i \cdot \sin n \alpha)} $$ $$ z^{-n} = \frac{1}{r^n} \cdot (\cos n \alpha - i \sin n \alpha) $$
Un esempio pratico
Ho il numero complesso in forma trigonometrica
$$ z = 5 \cdot [ \cos(30°) + i \cdot \sin(30°) ] $$
Applico la regola precedente e ottengo il reciproco
$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{5} \cdot [ \cos(30°) - i \cdot \sin(30°)] $$
La dimostrazione
Considero un numero complesso generico con modulo r e argomento α
$$ z = r \cdot (\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha )$$
Per calcolare il reciproco del numero complesso divido 1 per z
$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{r \cdot (\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha) } $$
Sapendo che cos(0)=1 e sin(0)=0 posso riscrivere il numeratore in questa forma equivalente
$$ \frac{1}{z} = \frac{1 \cdot (\cos 0 + i \cdot \sin 0)}{r \cdot (\cos \alpha + i \cdot \sin \alpha) } $$
In questo modo il rapporto diventa tra due numeri complessi in forma trigonometrica.
Svolgo la divisione dei numeri complessi in forma trigonometrica.
$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{z} \cdot [ \cos (0-\alpha) + i \cdot \sin (0-\alpha) ] $$
$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{z} \cdot [ \cos (-\alpha) + i \cdot \sin (-\alpha) ] $$
Sapendo che il coseno è una funzione pari cos(-a)=cos(a)
$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{z} \cdot [ \cos (\alpha) + i \cdot \sin (-\alpha) ] $$
Sapendo che il seno è una funzione dispari sin(-a)=-sin(a)
$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{z} \cdot [ \cos (\alpha) - i \cdot \sin (\alpha) ] $$
Il risultato è dimostrato.
E così via.
