Prodotto misto di tre vettori
Il prodotto misto di tre vettori v1,v2,v3 è il prodotto scalare di un vettore v1 con il prodotto vettoriale di altri due vettori v2 ∧ v3. $$ < v_1 , v_2 ∧ v_3 > $$
Il prodotto misto eguaglia il determinante dei tre vettori.
Un esempio pratico
Nello spazio tridimensionale R3 ho tre vettori.
$$ v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} $$
$$ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} $$
Per calcolare il prodotto misto devo prima determinare il prodotto vettoriale v2 ∧ v3.
$$ v_2∧ v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} det \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ - det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix}$$
Poi calcoli il prodotto scalare tra il primo vettore v1 e il prodotto vettoriale degli altri due vettori v2 ∧ v3.
$$ < v_1 , v_2 ∧ v_3 > = < \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} > $$
$$ < v_1 , v_2 ∧ v_3 > = (2 \cdot 7)+ (1 \cdot -1) + (-3 \cdot -5) $$
$$ < v_1 , v_2 ∧ v_3 > = 14 - 1 +15 $$
$$ < v_1 , v_2 ∧ v_3 > = 28 $$
Il prodotto misto dei tre vettori è uguale a 28.
Qual è la differenza tra il prodotto misto e il determinante?
Secondo una proprietà teorica il prodotto misto dovrebbe eguagliare il determinante dei tre vettori.
Per verificarlo, metto in colonna i tre vettori v1, v2, v3 e calcolo il determinante.
$$ det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ -3 & 1 & 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - 1 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} -3 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = 14 - 1 + 15 = 28 $$
Effettivamente il determinante eguaglia il prodotto misto dei tre vettori.
E così via.
