La differenza tra prodotto scalare e vettoriale

Dati due vettori A e B, il prodotto vettoriale AxB è un vettore perpendicolare ai due vettori precedenti. Il prodotto scalare A·B o <A,B> è, invece, un numero scalare.

Un esempio pratico

Ho due vettori

$$ A= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

$$ B= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} $$

Il prodotto vettoriale AxB è

$$ AxB= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} x \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} $$

$$ AxB= \begin{pmatrix} det \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \\ det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \\ det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \end{pmatrix} $$

$$ AxB= \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} $$

Nota. Il risultato del prodotto vettoriale è un vettore.

Il prodotto scalare <A,B> o A·B usando la regola euclidea è

$$ A \cdot B= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} $$

$$ A \cdot B= ( 1 \cdot 4 ) + ( 2 \cdot 5 ) + ( 3 \cdot 6 ) $$

$$ A \cdot B= 4+10+18 $$

$$ A \cdot B= 32 $$

Nota. Il risultato del prodotto scalare è un numero.

E così via