Identità del doppio prodotto vettoriale
L'identità del doppio prodotto vettoriale (o formula di Lagrange) è $$ \vec{a} \: × \: ( \vec{b} \: × \: \vec{c} ) = < \vec{a} , \vec{c} > \vec{b} \ - < \vec{a} , \vec{b} > \vec{c} $$ o alternativamente $$ \vec{a} \: × \: ( \vec{b} \: × \: \vec{c} ) = \vec{b} < \vec{a} , \vec{c} > - \vec{c} < \vec{a} , \vec{b} > $$
Consente di trasformare un doppio prodotto vettoriale in due prodotto scalari moltiplicati per due vettori.
Nel membro di sinistra dell'equazione ci sono prodotti vettoriali mentre nel membro di destra ci sono due prodotti scalari moltiplicati per un vettore.
Per chiarire meglio la formula di Lagrange:
- $ < \vec{a} , \vec{c} > $ e $ < \vec{a} , \vec{b} > $ sono prodotti scalari e producono due scalari.
- $ < \vec{a} , \vec{c} > \vec{b} $ e $ < \vec{a} , \vec{b} > \vec{c} $ sono prodotti di uno scalare moltiplicati per un vettore e, quindi, producono vettori. Pertanto, il risultato dell'intera espressione è un vettore,
L'identità è comunque tra due vettori.
Ad esempio nell'espressione <a,c>b, il prodotto scalare tra i due vettori <a,c> è uno scalare α che viene poi moltiplicato per un vettore (b), quindi il risultato finale è un altro vettore.
La formula di Lagrange si può ricordare facilmente come ACB-ABC oppure BAC-CAB.
Esempio
Considero tre vettori.
$$ \vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{c}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} $$
Verifico l'identità di Lagrange
$$ \vec{a} \: × \: ( \vec{b} \: × \: \vec{c} ) = < \vec{a} , \vec{c} > \vec{b} - < \vec{a} , \vec{b} > \vec{c} $$
Sostituisco i vettori presi nell'esempio
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \: × \: ( \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \: × \: \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} ) = < \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} > · \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} - < \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} > · \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} $$
Calcolo il prodotto vettoriale nel membro di sinistra
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \: × \: \begin{pmatrix} det \begin{pmatrix} 4 & 7\\ 5 & 8 \end{pmatrix} \\ -det \begin{pmatrix} 3 & 6\\ 5 & 8 \end{pmatrix} \\ det \begin{pmatrix} 3 & 6\\ 4 & 7 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = < \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} > · \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} - < \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} > · \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \: × \: \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} = < \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} > · \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} - < \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} > · \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}$$
$$ \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = < \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} > · \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} - < \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} > · \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} $$
Ora calcolo il prodotto scalare a destra
$$ \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = ( 1 \cdot 6 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 8 ) · \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} - ( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 ) · \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = 44 · \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} - 26 · \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 132 \\ 176 \\ 220 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 156 \\ 182 \\ 208 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 132 - 156 \\ 176 - 182 \\ 220 - 208 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} $$
L'identità è confermata.
Nota. L'altra formula si dimostra in modo analogo. $$ \vec{a} \: × \: ( \vec{b} \: × \: \vec{c} ) = \vec{b} < \vec{a} , \vec{c} > - \vec{c} < \vec{a} , \vec{b} > $$ $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \: × \: ( \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \: × \: \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} · < \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} > - \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} · < \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} > $$ $$ \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} · ( 1 \cdot 6 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 8 ) - \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} · ( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5) $$ $$ \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} · 44 - \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} · 26 $$ $$ \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3· 44 \\ 4· 44 \\ 5· 44 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6· 26 \\ 7· 26 \\ 8· 26 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 132 \\ 176 \\ 220 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 156 \\ 182 \\ 208 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 132 - 156 \\ 176 - 182 \\ 220 - 208 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} $$ L'identità è confermata.
E così via.
