Come trovare le equazioni cartesiane della retta nello spazio

Per trovare l'equazione cartesiana di una retta nello spazio a tre dimensioni, parto dall'equazione vettoriale della retta.

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = P_0 + t \cdot v_r $$

Dove v_r è un vettore direttore e P₀ un punto qualsiasi della retta.

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix} $$

A questo punto, sposto le coordinate del punto nel membro di destra e ottengo un vettore P₀P₁.

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x - x_0 \\ y - y_0 \\ z - z_0 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix} $$

I due vettori devono essere tra loro proporzionali, ossia linearmente dipendenti, perché esiste un parametro t tale da renderli uguali.

Se sono linearmente dipendenti, la matrice composta dai due vettori disposti in colonna deve avere il rango ( r_k ) inferiore al numero dei vettori stessi.

$$ r_k = \begin{pmatrix} x - x_0 & l \\ y - y_0 & m \\ z - z_0 & m \end{pmatrix} < 2 $$

Nota. In una matrice quadrata il rango inferiore al numero delle colonne equivale a dire che il determinante è nullo.

Non essendo una matrice quadrata non posso calcolare il determinante per ottenere l'equazione cartesiana della retta.

Per risolvere il problema devo seguire un altro ragionamento.

Il vettore direttore della retta v_r non può essere nullo per definizione.

$$ v_r = \begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Per indicare una direzione della retta, almeno un elemento del vettore direttore deve essere non nullo.

Ipotizzo che l'elemento non nullo sia l.

$$ v_r = \begin{pmatrix} l \\ m \\ n \end{pmatrix} \:\:\:\: l \ne 0 $$

Poi calcolo il determinante dei minori della matrice in cui si a presente l'elemento l.

$$ det \begin{pmatrix} x - x_0 & l \\ y - y_0 & m \end{pmatrix} $$

$$ det \begin{pmatrix} x - x_0 & l \\ z - z_0 & m \end{pmatrix} $$

Svolgo i calcoli dei due determinanti e li metto uguali a zero.

$$ m( x - x_0 ) - l ( y-y_0 ) = 0 $$

$$ n( x - x_0 ) - l ( z-z_0 ) = 0 $$

Nota. Ho messo entrambi i determinanti uguali a zero perché sono minori di ordine 2. Il rango della matrice è uguale a 1. Quindi i minori di ordine 2 devono essere necessariamente uguali a zero.

Ho così trovato il sistema delle equazioni cartesiane della retta nello spazio.

$$ \begin{cases} m( x - x_0 ) - l ( y-y_0 ) = 0 \\ n( x - x_0 ) - l ( z-z_0 ) = 0 \end{cases} $$

Esempio

Data la seguente equazione vettoriale della retta nello spazio R³

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Devo trovare l'equazione cartesiana.

Sposto il punto P₀ a sinistra e ottengo due vettori.

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 3 \\ z - 5 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} $$

I due vettori devono essere tra loro linearmente dipendenti perché proporzionali.

Quindi, li metto in colonna in una matrice.

$$ \begin{pmatrix} x - 1 & 2 \\ y - 3 & -1 \\ z - 5 & 4 \end{pmatrix} $$

Essendo vettori linearmente dipendenti, il rango della matrice è inferiore al numero dei vettori.

$$ r_k < 2 $$

Ci sono degli elementi non nulli perché almeno un elemento del vettore direttore deve essere diverso da zero.

Pertanto il rango è uguale a 1.

$$ r_k = 1 $$

Ipotizzo che (x-1) sia diverso da zero.

Poi calcolo il determinante dei minori della matrice in cui sia presente (x-1)

$$ det \begin{pmatrix} x-1 & 2 \\ y - 3 & -1 \end{pmatrix} $$

$$ det \begin{pmatrix} x-1 & 2 \\ z - 5 & 4 \end{pmatrix} $$

Svolgo i calcoli dei determinanti dei minori.

$$ -1 (x-1) - 2 ( y - 3) $$

$$ 4 (x-1) - 2 ( z - 5 ) $$

Essendo minori di ordine 2, so per certo che siano nulli perché il rango della matrice è 1.

Quindi li metto uguali a zero.

$$ - (x-1) - 2 ( y - 3) = 0 $$

$$ 4 (x-1) - 2 ( z - 5 ) = 0 $$

Ho così trovato il sistema dell'equazione cartesiana della retta nello spazio.

$$ \begin{cases} - (x-1) - 2 ( y - 3) = 0 \\ 4 (x-1) - 2 ( z - 5 ) = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} - x -2y +67 = 0 \\ 4x - 2z +6 = 0 \end{cases} $$

Ogni equazione del sistema identifica un piano distinto nello spazio.

I due piani sono tra loro incidenti e i punti di intersezione determinano i punti della retta.

E così via.