Esercizi sulle serie numeriche

Alcuni esercizi svolti sulle serie numeriche

esercizio	$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} $
esercizio	$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n+1} $
esercizio	$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{2^n} $
esercizio	$ \sum_{n=1}^\infty \frac{2n + 1}{n} $
esercizio	$ \sum_{k=1}^{+\infty} \sqrt[k]{3} $
esercizio	$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k(k+1)} $

Esercizio: la serie \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} \) converge o diverge?

In questo esecizio devo studiare la serie

\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} \]

La serie ha inizio da 2 per evitare una divisione per zero.

Guardando il termine della serie, mi accorgo che può essere trasformato in una forma equivalente più agevole per risolvere il problema.

Riscrivo il numeratore $ n+1 $ nella forma equivalente $ n - 1 +2 $

$$ \frac{n+1}{n-1} = \frac{n - 1  + 2}{n - 1} $$

$$ \frac{n+1}{n-1} = \frac{(n - 1) + 2}{n - 1} $$

$$ \frac{n+1}{n-1} = \frac{n-1}{n-1} + \frac{2}{n - 1} $$

$$ \frac{n+1}{n-1} = 1 + \frac{2}{n - 1} $$

Quindi la serie può essere riscritta come:

$$ \sum_{n=2}^{\infty} \left(1 + \frac{2}{n - 1}\right)$$

A questo punto applico le proprietà delle serie

$$ \sum_{n=2}^{\infty} 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n - 1} $$

$$ \sum_{n=2}^{\infty} 1 + 2 \cdot \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n - 1} $$

In questo modo ottengo una forma equivalente della serie più facile da analizzare.

Sapendo che \( \sum_{n=2}^{\infty} 1 \) è la somma infinita di 1, cioè diverge chiaramente, e che \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n - 1}  \) è la serie armonica con $ k=n-1 $ che parte da 2 e anche la serie armonica diverge, deduco che la serie è divergente all'infinito.

$$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} = \underbrace{ \sum_{n=2}^{\infty} 1}_{divergente}  + 2 \cdot \underbrace{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n - 1} }_{divergente}  $$

Pertanto, la serie $ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} $ è divergente.

Studio della convergenza della serie \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n+1} \)

In questo esercizio devo studiare il carattere della serie

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n+1} \]

Studiare il carattere della serie significa capire se converge, ossia ha somma finita, o diverge, ovvero ha la somma è infinita o non definita.

Per prima cosa analizzo il termine generale che in questo caso è:

\[ a_n = \frac{n}{2n+1} \]

Devo capire se questo termine tende a zero quando \( n \to \infty \). Questo è un requisito necessario affinché una serie possa convergere.

Quindi, calcolo il limite del termine generale.

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1} \]

In base al criterio necessario di convergenza, se una serie \( \sum a_n \) converge, allora necessariamente** \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \). Se il limite non è zero, allora la serie diverge.

Per risolvere il limite divido il numeratore e il denominatore per \( n \) in modo da semplificare il rapporto.

\[  \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{2 + 0} = \frac{1}{2} \]

Il limite del termine generale della serie non è zero ma \( \frac{1}{2} \).

\[\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2} \neq 0  \]

Questo significa che è una serie a termini positivi, ma il termine generale non tende a zero.

Perciò, la serie $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n+1} $ è divergente.

Esercizio: studio della serie numerica $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{2^n} $

Devo studiare la serie

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{2^n} $$

Il termine generale della serie è il seguente:

$$ a_n = \frac{2^n - 1}{2^n}  $$

Semplifico il termine generale in questo modo:

$$ a_n = \frac{2^n - 1}{2^n} = \frac{2^n}{2^n} - \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n} $$

A questo punto studio il limite della successione \( a_n \) per n che tende a infinito.

$$ \lim_{n \to \infty} a_n  $$

$$ \lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{2^n} $$

$$ \lim_{n \to \infty} 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 1 - 0 = 1  $$

Poiché il limite della successione è diverso da zero, deduco che la serie diverrge positivamente.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} 1 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} $$

Quindi, la serie numerica è divergente.

 

Studio della convergenza della serie \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n} \)

Devo studiare il carattere della serie

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2n + 1}{n} \]

Il termine generale della serie è

\[ a_n = \frac{2n + 1}{n} \]

Cerco di semplificare questa espressione:

\[ a_n = \frac{2n + 1}{n} = \frac{2n}{n} + \frac{1}{n} = 2 + \frac{1}{n} \]

Quindi ogni termine della serie è:

\[ a_n = 2 + \frac{1}{n} \]

A questo punto calcolo il limite del termine generale

Una condizione necessaria affinché una serie \(\sum a_n\) converga è che il termine generale vada a zero:

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{1}{n}\right) = 2 + 0 = 2 \]

In questo caso il limite non va a zero.

\( \lim a_n = 2 \ne 0 \)

Quindi, la serie diverge.

 

Studio della serie $ \sum_{k=1}^{+\infty} \sqrt[k]{3} $

Devo studiamo la serie numerica 

$$ \sum_{k=1}^{+\infty} \sqrt[k]{3} $$

Per prima cosa verifico la natura del termine generale

$$ a_k = \sqrt[k]{3} = 3^{1/k} $$

Posso riscrivere termine generale in questa forma equivalente:

$$ a_k = \sqrt[k]{3} = 3^{1/k} $$

Poi studio il limite del termine generale per k  che tende a infinito.

$$ \lim_{k \to \infty} 3^{1/k}  $$

Riscrivo il limite in questa forma equivalente con i logaritmi.

$$ \lim_{k \to \infty} e^{ \ln { 3^{1/k} } }  $$

Poi applico le proprietà dei logaritmi

$$ \lim_{k \to \infty} e^{ \frac{1}{k} \ln { 3 } }  $$

Poiché $\ln(3)$ è costante e $k \to \infty$, l'esponente tende a zero $ \frac{\ln(3)}{k} \to 0 $

Sapendo che l'esponenziale $ e^0 = 1 $, deduco che il limite del termine generale tende a 1.

$$ \lim_{k \to \infty} e^{ \frac{1}{k} \ln { 3 } } = 1  $$

Quindi il termine generale della serie non tende a zero e questo è un punto cruciale.

$$ \lim_{k \to \infty} 3^{1/k} = 1 $$

In base al criterio di convergenza, una condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza di una serie $\sum a_k$ è che il limite del termine generale sia nullo

$$ \lim_{k \to \infty} a_k = 0 $$

In questo caso il limite del termine generale è diverso da zero, quindi deduco che la serie diverge.

$$ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{3} = 1 \ne 0 $$

Pertanto, la serie è divergente.

$$ \sum_{k=1}^{+\infty} \sqrt[k]{3} \quad \text{diverge} $$

 

Studio della serie $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k(k+1)} $

Devo studiare il carattere della serie:

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k(k+1)} $$

Il termine generale della serie è:

$$ a_k = \frac{(-1)^k}{k(k+1)} $$

Si tratta di una serie alternata, perché il segno dei termini cambia al variare di $k$ a causa del fattore $(-1)^k$.

Il criterio di Leibniz per le serie alterne afferma che la serie

$$ \sum_{k=1}^\infty (-1)^k b_k $$

con $b_k \ge 0$, converge se:

1. $b_k$ è decrescente: $b_{k+1} \le b_k$ per ogni $k \ge k_0$,
2. $\lim_{k \to \infty} b_k = 0$.

In questo caso il limite del termine generale $ b_k = \frac{1}{k(k+1)} > 0 $ è zero

$$ \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k(k+1)} = 0 $$

Per verificare la monotonia decrescente verifico se $ b_k > b_{k+1} $

$$ b_k = \frac{1}{k(k+1)} $$

$$ b_{k+1} = \frac{1}{(k+1)(k+2)} $$

Confronto i due termini successivi:

$$ \frac{1}{k(k+1)} > \frac{1}{(k+1)(k+2)} $$

Per qualsiasi $ k $ vale la relazione $ b_k > b_{k+1} $ quindi il termine $b_k$ è decrescente.

Questo significa che la serie è convergente per il criterio di Leibniz.

E' una convergenza assoluta?

Ora verifico se la serie è assolutamente convergente:

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{k(k+1)} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} $$

Scompongo la frazione di polinomi in una somma di frazioni parziali:

$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} $$

Dove A e B sono i numeri che devo trovare.

$$ \frac{1}{k(k+1)} =  \frac{A(k+1) + Bk}{k(k+1)} $$

Ora eguaglio i numeratori

$$ 1 = A(k+1) + Bk $$

$$ 1 = Ak+ A + Bk $$

$$ 1 = k(A+B)+ A $$

Poiché nel membro di sinistra $ k = 0$ mentre il termine noto è 1, deduco che $ A+B=0 $ e $ A=1 $

$$ \begin{cases} A+B=0 \\ \\ A = 1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 1+B=0 \\ \\ A = 1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} B=-1 \\ \\ A = 1 \end{cases} $$

Quindi $ A=1 $ e $ B=-1 $

$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} $$

$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} + \frac{(-1)}{k+1} $$

$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $$

In questa forma equivalente la serie diventa:

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) $$

È una serie telescopica, e si semplifica così:

$$ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots
= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \cdots = 1 $$

Quindi la serie converge assolutamente.

E così via.