Serie esponenziale
La serie esponenziale è la seguente: $$ \sum_{n = 0 }^{ \infty } \frac{x^n}{n!} $$ dove x è un numero reale.
Il grafico della serie esponenziale se la ragione x>0.
Il grafico della serie esponenziale se la ragione x<0.
In entrambi i casi la serie esponenziale è una serie convergente per n che tende a infinito.
Nota. Se la ragione è nulla (x=0) anche la serie esponenziale è nulla. La regola n0=1 non si applica per n=0. La scrittura 00 in matematica non è stata definita perché porta a diverse contraddizioni. $$ 0^0 = 1 = 0^{1-1} = \frac{0}{0} $$ Dove 0/0 non è un numero. Per questa ragione qualsiasi numero diverso dallo zero elevato a zero è uguale a uno n0=1. A volte il risultato 00=1 viene restituito in qualche calcolatrice o programma informatico per evitare problemi ma non vale in matematica.
La convergenza della serie esponenziale
La serie esponenziale è una serie convergente per qualunque ragione x diversa da zero.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} = \frac{x^n}{n!} $$
Dimostrazione
Per dimostrarlo utilizzo il teorema del rapporto.
Prendo due termini consecutivi della successione an e calcolo il limite del rapporto per n→∞
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} $$
In questo caso
$$ a_n = \frac{x^n}{n!} $$
$$ a_{n+1} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} $$
Quindi il limite del rapporto diventa
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^n} $$
L'espressione può essere semplificata
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n+1} $$
Per x>0 il limite del rapporto tende a zero.
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n+1} = 0 $$
Pertanto, secondo il teorema del rapporto la serie è convergente.
E così via.
