Serie alternata
Una serie è detta alternata se il segno di ciascun termine an è opposto rispetto al termine successivo an+1.
Un esempio pratico
Questa serie è una serie alternata
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} $$
Si tratta della serie armonica alternata.
Guardando i primi termini della serie, si nota subito che il segno più si alterna al segno meno.
$$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + (-1)^{n-1} \frac{1}{n} $$
Si tratta di una serie convergente
Tuttavia, non è detto che una serie alternata debba essere sempre convergente.
Può anche essere divergente o indeterminata.
Il criterio di convergenza delle serie alternate.
Per stabilire se una serie alternata è una serie convergente, utilizzo un criterio specifico, diverso dalle serie non negative.
Una serie alternata è convergente se la successione an dei termini non negativi (an≥0) è decrescente e infinitesima (ossia tende a zero).
Esempio
Prendo come esempio la serie armonica alternata
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + (-1)^{n-1} \frac{1}{n} $$
I termini an non negativi sono i termini dispari
$$ a_1 = 1 \\ a_3 = \frac{1}{3} \\ a_5 = \frac{1}{5} \\ \vdots $$
La successione dei termini non negativi è decrescente.
$$ a_{2n+1} = 1 \: , \: \frac{1}{3} \: , \: \frac{1}{5} \: , \: \frac{1}{7}\: ... $$
Quindi, il primo punto del criterio di convergenza delle serie alternate è soddisfatto.
Nota. Se non fosse decrescente sarebbe inutile continuare.
A questo punto verifico se anche il secondo punto del criterio di convergenza è soddisfatto, ossia se il limite della successione dei termini non negativi tende anche a zero (successione infinitesima).
$$ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{2n+1} = 0 $$
La successione dei termini non negativi tende a zero.
Pertanto, secondo il criterio di convergenza la serie armonica alternata è una serie convergente.
Nota. Il criterio permette di capire il carattere convergente della serie ma non il limite a cui converge. Come si può notare nel grafico, la serie (rossa) è convergente ma non converge a zero.
Dimostrazione
Prendo come riferimento la serie armonica alternata
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} ... $$
La ridotta n-esima dei termini pari della serie è
$$ s_{2k+2} \ge s_{2k} \:\:\:\:\: \forall k = 1,2,3,... $$
Esempio. Per k=1 vale la diseguaglianza $$ s_4 \ge s_2 $$ $$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \ge 1 - \frac{1}{2} $$ $$ 0.58 \ge 0.5 $$ Dal punto di vista grafico
mentre la ridotta n-esima dei termini dispari della serie è
$$ s_{2k+1} \le s_{2k-1} \:\:\:\:\: \forall k = 1,2,3,... $$
Esempio. Per k=1 vale la diseguaglianza $$ s_3 \le s_1 $$ $$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \le 1 $$ $$ 0.83 \le 1 $$ Ecco la rappresentazione grafica
In generale, nella serie armonica alternata valgono le seguenti diseguaglianze
$$ s_2 \le s_4 \le s_6 \le \: ... \: s_{2k} $$
$$ s_1 \ge s_3 \ge s_5 \ge \: ... \: \ge s_{2k+1} $$
La prima successione delle somme parziali (s2,s4,s6,...) è crescente mentre la seconda (s1,s3,s5,...) è decrescente.
Dal punto di vista grafico
Sono entrambe successioni monotòne. Inoltre, entrambe sono successioni limitate.
Secondo il teorema delle successioni monotòne entrambe le successioni sono convergenti.
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} s_{2k} = l' $$
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} s_{2k+1} = l'' $$
Resta da dimostrare che entrambe convergono allo stesso limite.
La prima successione di somme tende a s2k mentre la seconda a s2k+1.
La differenza tra s2k+1 e sk è il termine della successione a2k+1
$$ s_{2k+1} - s_{2k} = a_{2k+1} $$
Esempio. Se k=1 $$ s_{2k+1} = s_3= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} $$ $$ s_{2k} = s_2= 1 - \frac{1}{2} $$ Quindi la differenza $$ s_{2k+1} - s_{2k} = s_3 - s_1 = [ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ] - [ 1 - \frac{1}{2} ] = \frac{1}{3} $$ dove 1/3 è il terzo termine (2k+1=3 con k=1) della successione an $$ 1, - \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , - \frac{1}{4}, \frac{1}{5} , - \frac{1}{6} , ... $$ Dal punto di vista grafico
Il termine dispari a2k+1 della successione è maggiore uguale a zero
$$ s_{2k+1} - s_{2k} = a_{2k+1} \ge 0 $$
Nota. Da questo deduco che $$ s_{2k+1} \ge s_{2k} $$ Dal punto di vista grafico
Calcolo il limite
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} s_{2k+1} - s_{2k} = \lim_{k \rightarrow \infty} a_{2k+1} \ge 0 $$
Poiché il limite del termine a2k+1 è nullo
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} a_{2k+1} = 0 $$
Ne consegue che
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} s_{2k+1} - s_{2k} = 0 $$
Pertanto, i due termini coincidono.
Le successioni delle somme parziali convergono allo stesso limite
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} s_{2k+1} = \lim_{k \rightarrow \infty} s_{2k} $$
Ne consegue che la serie armonica alternata è convergente.
Corollario
Se la serie alternata è convergente, allora la differenza assoluta tra la somma s e la sua ridotta n-esima sn è inferiore al termine an+1 della successione dei termini non negativi (an+1≥0). $$ | s_n - s | \le a_{n+1} $$
In pratica, l'errore in valore assoluto che si compie prendendo una somma ridotta n-esima di una serie alternata, è pari al primo termine non negativo trascurato.
A cosa serve il corollario?
Questo corollario mi permette di stimare l'errore quando utilizzo una somma ridotta ennesima al posto della serie alternata.
Esempio
Prendo come riferimento la serie armonica alternata
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... $$
I termini non negativi sono
$$ a_1 = 1 \\ a_3 = \frac{1}{3} \\ a_5 = \frac{1}{5} \\ \vdots $$
Prendo in considerazione a3 quindi n+1=3
$$ a_{n+1} = a_{2+1} = a_3 = \frac{1}{3} $$
Pertanto n=2
Per n=2 la ridotta ennesima è
$$ s_2 = 1 - \frac{1}{2} = 0.5 $$
mentre la serie s è
$$ s = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... $$
Secondo il corollario
$$ | s_n - s | \le a_{n+1} $$
$$ | s_2 - s | \le a_3 $$
$$ | s_2 - s | \le \frac{1}{3} $$
$$ | s_2 - s | \le 0.33 $$
Quindi se considero la somma ridotta s2=0.5 l'errore massimo in valore assoluto rispetto alla somma ennesima per n→∞ alternata è 0.33.
$$ s = s_2 - a_3 $$
$$ s = 0.5 - 0.33 = 0.17 $$
Ecco la rappresentazione grafica
Esempio 2
Voglio sostituire la serie armonica alternata s con una ridotta ennesima sn.
$$ s_n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} $$
Quanti elementi (n) devo considerare per avere una ridotta ennesima sn con un margine di errore del 1 per 100?
$$ | s_n - s | \le a_{n+1} $$
Sapendo che an+1 è la stima dell'errore che si compie sostituendo la serie con una ridotta ennesima
$$ | s_n - s | \le \frac{1}{100} $$
Per trovare l'indice n considero il primo termine della successione che soddisfa la seguente relazione:
$$ a_{n+1} = \frac{1}{100} $$
ossia
$$ \frac{1}{n+1} = \frac{1}{100} $$
che è soddisfatta per n=99
$$ 100 = n+1 $$
$$ n = 100-1 $$
$$ n = 99 $$
Quindi, per avere una stima della serie armonica alternata sn con un errore del 1 per cento, devo calcolare la ridotta s99.
La dimostrazione
Riprendo l'esempio della serie armonica alternata.
Le successioni delle somme parziali pari e dispari convergono allo stesso limite
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} s_{2k+1} = \lim_{k \rightarrow \infty} s_{2k} = s $$
Sapendo che la somma ridotta dispari è decrescente e la somma ridotta pari è crescente, posso affermare che
$$ s_{2k+1} \ge s $$
$$ s_{2k} \le s $$
Dove s è la somma della serie armonica alternata per n→∞
Unisco le due diseguaglianze in una sola disuguaglianza
$$ s_{2k} \le s \le s_{2k+1} $$
Sottraggo s2k a tutti i membri della diseguaglianza
$$ s_{2k} - s_{2k} \le s - s_{2k} \le s_{2k+1} - s_{2k} $$
$$ 0 \le s - s_{2k} \le s_{2k+1} - s_{2k} $$
Sapendo che |s2k+1-s2k| = a2k+1 posso affermare che
$$ 0 \le s - s_{2k} \le a_{2k+1} $$
Pertanto, la differenza massima in valore assoluto tra la somma s della serie armonica alternata e la somma ridotta s2k è il primo termine trascurato a2k+1.
E così via.
