Criterio di Leibniz per le serie alterne
Data una serie numerica alterna $$ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k b_k \quad \text{oppure} \quad \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} b_k $$ dove $ {b_k} $ è una successione di numeri positivi ( $ b_k > 0 $ ), la serie converge (cioè ha somma finita) se sono soddisfatte entrambe queste due condizioni:
- Monotonia: la successione ${b_k} $ è decrescente da un certo punto in poi, cioè per ogni $k $ sufficientemente grande vale $$ b_{k+1} \le b_k $$
- Limite nullo: il termine della successione ${b_k} $ tende a zero, cioé $$ \lim_{k \to \infty} b_k = 0 $$
Il criterio di Leibniz è una regola utile per determinare se una serie numerica alterna converge.
In altre parole, si applica solo quando i termini della serie cambiano segno a ogni passo, come positivo-negativo-positivo... ecc.
Nota. ll test di Leibniz è uno strumento semplice ed efficace per riconoscere la convergenza delle serie a termini alterni, ma non basta da solo per garantire convergenza assoluta della serie alterna $$ \sum_{k=1}^{\infty} | (-1)^k b_k | $$ Per capire se una serie converge assolutamente, devo usare altri criteri: ad esempio il confronto o il rapporto.
Un esempio pratico
Considero la serie:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} $$
In questo caso il termine $ b_k $ della serie alternata è
$$ b_k = \frac{1}{k} $$
La successione $ b\_k = \frac{1}{k}\ $ ha tutti i termini positivi $ b_k > 0 $ ed è monotona decrescente perché $ b_k > b_{k+1} $
$$ \frac{1}{k} > \frac{1}{k+1} $$
Inoltre, il limite della successione tende a zero per $ k \to \infty $
$$ \lim\_{k \to \infty} \frac{1}{k} = 0 $$
Quindi, la serie converge per il criterio di Leibniz.
Esempio 2
Considero la serie:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{k}} $$
Il termine $ b_k $ della successione è:
$$ b_k = \frac{1}{\sqrt{k}} $$
Anche in questo caso la successione è positiva $ b_k>0 $ ed è monotona decrescente $ b_k > b_{k+1} $
$$ \frac{1}{\sqrt{k}} > \frac{1}{\sqrt{k+1}} $$
Inoltre, il limite della successione è zero.
$$ \lim\_{k \to \infty} \frac{1}{\sqrt{k}} = 0 $$
Entrambe le condizioni del criterio di Leibniz sono soddisfatte, quindi anche questa serie converge.
E così via.
