La serie dei numeri naturali
La serie che somma i primi n numeri naturali è la seguente $$ s_n = \sum_{k=1}^n k $$
Ecco le somme parziali della serie per i primi n=5 numeri naturali
$$ s_1 = 1 \\ s_2 = 1+ 2 = 3 \\ s_3 = 1+ 2+3 = 6 \\ s_4 = 1+ 2 +3+4= 10 \\ s_5 = 1+ 2+3+4+5 = 15 \\ \vdots $$
Pertanto, le prime somme parziali della serie sono
$$ 1 \: , \: 3 \: , \: 6 \: , \: 10 \: , \: 15 \: , \: ... $$
La formula di Gauss
La serie dei numeri naturali è stata studiata per la prima volta da Gauss.
Gauss si accorse che la serie dei numeri naturali è una progressione perché rispetta una particolare legge detta formula di Gauss
$$ s_n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$
Effettivamente la formula di Gauss sembra rispettare le somme parziali della serie per i primi numeri da 1 a 5.
$$ s_1 = \frac{1(1+1)}{2} = 1 $$
$$ s_2 = \frac{2(2+1)}{2} = 3 $$
$$ s_3 = \frac{3(3+1)}{2} = 6 $$
$$ s_4 = \frac{4(4+1)}{2} = 10 $$
$$ s_5 = \frac{5(5+1)}{2} = 15 $$
Questo però non basta per affermare che la formula funzioni per tutti gli infiniti numeri naturali.
$$ s_n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$
Per dimostrare la validità della formula di Gauss si utilizza il metodo per induzione.
La base
La base del metodo induttivo per n=1 è soddisfatta
$$ P(1) \: : \: \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} = 1 $$
L'ipotesi
Considero vera l'ipotesi per qualsiasi n
$$ P(n) \: : \: \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$
Il passo induttivo
A questo punto verifico se il passo induttivo è soddisfatto per n+1
A entrambi i membri sommo il numero n+1.
$$ P(n+1) \: : \: \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) $$
$$ P(n+1) \: : \: \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} $$
$$ P(n+1) \: : \: \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2} $$
Il passo induttivo è confermato.
Nota. Se considerassi una variabile di comodo z=n+1 è ben evidente che si ritorna all'ipotesi. $$ P(n+1) \: : \: \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2} $$ $$ P(n+1) \: : \: \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+1+1)}{2} $$ $$ P(z) \: : \: \sum_{k=1}^{z} k = \frac{z(z+1)}{2} \:\:\:\:\: con \: z=n+1 $$
Pertanto, l'ipotesi è vera.
Per induzione la formula di Gauss è valida con qualsiasi numero naturale n.
E così via
