La serie convergente
Una serie sn è convergente se il limite per n che tende a infinito è un numero finito S. $$ \lim_{n \rightarrow \inf} s_n = S $$
Un esempio pratico
Prendo in considerazione la serie di Mengoli
$$ s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} $$
I primi termini della serie sono i seguenti
$$ s_1 = \frac{1}{1 \cdot 2} $$
$$ s_2 = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} $$
$$ s_3 = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} $$
Per n che tende a infinito, la serie sn converge a 1.
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1 $$
Il limite esiste ed è un numero finito.
Pertanto, la serie è convergente.
Condizione necessaria di convergenza di una serie
Una serie sn è convergente se la successione an tende a zero per n che tende a infinito.
Si tratta di una condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie.
Un esempio pratico
La serie di Mengoli
$$ s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} $$
Già so che la serie converge a 1
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = 1 $$
La successione an della serie è la seguente:
$$ a_n = \frac{1}{n(n+1)} $$
Analizzo i termini della successione numerica an
$$ a_1 = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} $$
$$ a_2 = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $$
$$ a_3 = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12} $$
E' evidente che la successione tende a zero per n→∞.
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n(n+1)} = 0 $$
Ecco la rappresentazione grafica della serie e della successione a confronto
Nota. Qualsiasi serie convergente è composta da una successione che converge a zero. Non vale però il contrario. Non è detto che una successione che converge a zero determini una serie convergente.
Dimostrazione
Il termine sn+1 della serie è uguale alla somma tra il termine precedente sn e il termine della successione an+1.
$$ s_{n+1} = s_{n}+a_{n+1} $$
Pertanto, ogni elemento an+1 della successione è uguale a
$$ a_{n+1} = s_{n+1}-s_{n} $$
Calcolo il limite della successione per n che tende a infinito
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1} $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} s_{n+1}-s_{n} $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} s_{n+1}- \lim_{n \rightarrow \inf} s_{n} = s-s = 0 $$
Il limite della successione per n→∞ è nullo.
Quindi, la serie potrebbe convergere.
Nota. Il limite della successione uguale a zero è soltanto una condizione necessaria della convergenza di una serie. Non è una condizione sufficiente. Per ottenere una condizione necessaria e sufficiente di convergenza bisogna utilizzare il criterio di Cauchy.
Criterio di convergenza di Cauchy
Una serie sn è convergente se per ogni ε>0 esiste un numero v>0 tale che per ogni n>v e ogni p di N $$ | \sum_{k=n+1}^{n+p} | < ε $$
Il criterio di convergenza delle serie di Cauchy è una condizione necessaria e sufficiente per la convergenza.
Quindi, se una serie soddisfa il criterio di Cauchy, è sicuramente una serie convergente.
Esempio
Prendo in considerazione la serie dell'esempio precedente.
Per ogni ε>0 esiste un numero v>0 tale che per ogni n>v il valore assoluto della serie da n+1 a n+p è minore di ε.
Quindi, la serie è convergente.
Dimostrazione
A partire da una serie
$$ s_n = \sum_{k=1}^{\infty} a_k $$
calcolo la successione delle somme parziali della serie
$$ s_1, s_2, s_3, ... , s_n $$
Secondo il criterio di convergenza di Cauchy, una successione è convergente se e solo se per ogni ε>0 esiste un numero v>0 tale che per ogni m>v e n>v è soddisfatta la seguente relazione:
$$ |s_m - s_n| <ε $$
Poiché m>n posso eliminare il modulo del valore assoluto
$$ s_m - s_n <ε $$
Sostituisco i termini generali della serie per m e n
$$ \sum_{k=1}^m a_k - \sum_{k=1}^n a_k <ε $$
Poi sottraggo le due serie, ciò che resta è la serie resto a partire da n+1
$$ \sum_{k=n+1}^m a_k <ε $$
Spiegazione. Le due serie hanno in comune i primi n elementi. Quindi la differenza è una serie resto a partire dall'elemento n+1.
Se m>n allora m=n+p, dove p è la differenza tra m e n.
$$ \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k <ε $$
Ho così dimostrato il criterio di convergenza di Cauchy di una serie.
Altri criteri di convergenza
Per capire se una serie è convergente posso usare anche altri metodi.
- Il criterio del confronto
- Il criterio degli infinitesimi
- Il criterio del rapporto
- Il criterio della radice
- Il criterio dell'integrale
E così via.
