Le serie numeriche

Una serie numerica s_n è la somma dei primi n termini di una successione a_n. $$ s_n = a_1+a_2+...+a_n $$ ossia la sommatoria $$ s_n = \sum_{i=1}^n a_i = a_1+a_2+...+a_n $$

Il termine $ s_n $ è detto termine generale della serie numerica.

Le singole somme $ s_k $ sono, invece, dette somme parziali o ridotte n-sime, indicano la somma dei primi termini di una successione da 1 a k.

$$ s_k = \sum_{i=1}^k a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_k $$

Data una successione $ a_k $ composta da k termini, esistono k termini della serie numerica $ s_k $ ossia k somme parziali con indice da 1 a k.

$$ s_1, s_2, ... , s_k $$

Generalmente l'indice iniziale della sommatoria è $ i=1 $ ma può anche essere un valore diverso (ad esempio $ i=2 $, ecc).

Nota. Quando l'indice iniziale della sommatoria è diverso da uno ($ i \ne 1 $), l'indice delle somme parziali della serie $ s_n $ comincia comunque a partire da uno. Ad esempio, questa sommatoria inizia da $ i=2 $ $$ s_n = \sum_{i=2} a_k $$ Il primo termine della serie è comunque $ s_1 $. $$ s_1 = a_2 \\ s_2 = a_2+a_3 \\ s_3 = a_2+a_3+a_4 \\ \vdots $$

Un esempio di serie

Prendo in considerazione la successione a_n

$$ a_n = 2n $$

I primi n termini della successione a_n sono

$$ 2, 4, 6, 8, 10, ... $$

La serie numerica s_n della successione è

$$ s_1 = 2 $$

$$ s_2 = 2+4 = 6 $$

$$ s_3 = 2+4+6 = 12 $$

$$ s_4 = 2+4+6+8 = 20 $$

$$ s_5 = 2+4+6+8+10=30 $$

Pertanto la serie numerica s_n delle somme parziali è

$$ s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, .... s_n $$

$$ 2, 6, 12, 20, 30, .... s_n $$

Ecco la rappresentazione grafica sul diagramma cartesiano della serie numerica (rossa).

Qual è la differenza tra serie e successione? La successione è una sequenza di termini a_k. La serie è la sequenza delle somme parziali s_k di una successione numerica. Ad esempio, il termine della successione a₃=6. Il termine s₃ della serie è la somma parziale dei primi tre termini della successione a_n, ossia s₃=a₁+a₂+a₃=2+4+6=12.

La serie infinita

Si parla di serie infinita quando n=∞.

$$ \sum_{k=1}^∞ a_k $$

Le serie infinita è uguale al limite della serie s_n per n che tende a infinito.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} s_n $$

A cosa serve il limite della serie per infinito?

Il limite della serie determina il carattere della serie ossia la sua proprietà d'essere regolare (convergente, divergente) o non regolare.

Nota. La serie è detta serie regolare se è convergente o divergente. Se la serie non converge, né diverge è detta serie irregolare.

Il carattere della serie

Il carattere di una serie numerica è la proprietà della serie di essere convergente, divergente o indeterminata.

• Serie convergente. Se il limite della serie esiste ed è un numero finito. La successione delle somme parziali s_n per n→∞ ammette un limite finito S detto somma della serie. $$ \lim_{n \rightarrow ∞} s_n = S $$

  Nota. La somma della serie è uguale alla sommatoria dei termini della successione a_n da 1 a inf. $$ S = \sum_{k=1}^∞ a_n $$

• Serie divergente. Se il limite della serie per n→∞ esiste ed è più o meno infinito. $$ \lim_{n \rightarrow ∞} s_n = ±∞ $$
• Indeterminata. Se il limite della serie per n→∞ non esiste. E' il caso delle serie irregolari.

Le proprietà delle serie

Le serie numeriche soddisfano la proprietà distributiva e associativa, ma non la proprietà commutativa.

In una serie, piccole modifiche possono lasciare invariato il risultato e il carattere oppure cambiarlo completamente.

Per questo motivo è fondamentale distinguere le proprietà valide da quelle che non lo sono.

• Proprietà distributiva
  Se moltiplico tutti i termini di una serie per una costante reale \( c \neq 0 \), il carattere della serie (convergente o divergente) non cambia. \[ \sum_{n=1}^{\infty} c a_n = c \sum_{n=1}^{\infty} a_n \] In altre parole, se la serie \( \sum a_n \) converge, anche \( \sum c a_n \) converge, la somma viene semplicemente moltiplicata per \( c \). se diverge, anche la serie moltiplicata diverge.

  Esempio. Considero la serie geometrica: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n \] Questa serie converge e ha somma pari a 2. \[ \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n =2 \] Se moltiplico ogni termine per 3: \[ \sum_{n=0}^{\infty} 3 \left(\frac{1}{2}\right)^n \] la serie è ancora convergente e la somma diventa \( 3 \cdot 2 = 6 \) \[ \sum_{n=0}^{\infty} 3 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 3 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 3 \cdot 2 = 6 \]

• Proprietà associativa
  Raggruppare i termini di una serie in blocchi finiti non cambia il risultato. Posso prendere i termini della serie e sommarli a gruppi, purché ogni gruppo contenga un numero finito di termini consecutivi. Questo vale sia per serie convergenti che divergenti.

  Esempio. Considero una serie convergente: \[  1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \] Posso raggruppare i termini così: \[ (1 + \tfrac{1}{2}) + (\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8}) + \cdots \] oppure: \[ 1 + (\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4}) + (\tfrac{1}{8} + \cdots) \] In entrambi i casi la serie resta convergente e la somma non cambia.

• Mancanza della proprietà commutativa
  A differenza delle somme finite, nelle serie non posso cambiare liberamente l’ordine dei termini. Se riordino i termini la serie può cambiare somma oppure passare da convergente a divergente. Questo fenomeno è particolarmente importante per le serie non assolutamente convergenti.

  Esempio. Considero la serie alternata: \[ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \cdots \] Questa serie converge. Tuttavia, se riordino i termini, ad esempio mettendo una sequenza di due termini positivi e uno negativo, posso ottenere una somma diversa oppure addirittura divergenza. \[ 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5}  + \frac{1}{7}  - \frac{1}{4} \cdots \] Questo risultato è alla base del teorema di riordinamento delle serie (Riemann). Va detto che in alcuni casi particolari, come nello studio della convergenza assoluta, la proprietà commutativa viene soddisfatta.

In conclusione, le proprietà delle serie non coincidono con quelle della somma algebrica di un numero finito di addendi.

Nelle serie infinite non conta solo quanto si somma, ma anche come si somma.

E così via.