Moltiplicazione di numeri immaginari
Il prodotto di due numeri immaginari è un numero reale. $$ (0,a) \cdot (0,b) = (- a \cdot b, 0) = - a \cdot b $$ Se scrivo i due numeri in forma algebrica (0,b)=bi e (0,a)=ai $$ ai \cdot bi = - a \cdot b $$
La dimostrazione
Prendo in considerazione due numeri immaginari
$$ z_1 = (0,a)=ai $$ $$ z_2 = (0,b)=bi $$
La moltiplicazione tra i due numeri immaginari nella forma cartesiana (0,a) e (0,b) si calcola seguendo la regola della moltiplicazione dei numeri complessi
$$ z_1 \cdot z_2 = (0,a) \cdot (0,b) $$
$$ z_1 \cdot z_2 = (0 \cdot 0 – a \cdot b, 0 \cdot b + a \cdot 0)$$
$$ z_1 \cdot z_2 = (0 – ab, 0 + 0)$$
$$ z_1 \cdot z_2 = ( – ab, 0)$$
Quindi, il risultato è il numero reale -ab.
Calcolando il prodotto dei numeri immaginari in forma algebrica ottengo lo stesso risultato
$$ z_1 \cdot z_2 = a i \cdot b i $$
Svolgo la moltiplicazione seguendo la regola del prodotto tra monomi.
$$ z_1 \cdot z_2 = a \cdot b \cdot i \cdot i $$
$$ z_1 \cdot z_2 = a \cdot b \cdot i^2 $$
Sapendo che il quadrato dell’unità immaginaria è i2=-1
$$ z_1 \cdot z_2 = a \cdot b \cdot (-1) $$
$$ z_1 \cdot z_2 = -a \cdot b $$
Nota. Personalmente trovo facile da ricordare il calcolo del prodotto in forma algebrica perché segue le tradizionali regole algebriche. Basta solo ricordarsi che il quadrato dell'unità immaginaria è meno uno i2=-1.
Un esempio pratico
Considero due numeri immaginari
$$ (0,2)=2i $$ $$ (0,3)=3i $$
Il prodotto tra i due numeri immaginari è il numero reale (-6,0)
$$ (0,2) \cdot (0,3)=(0 \cdot 0 – 2 \cdot 3, 0 \cdot 3 + 2 \cdot 0)=(-6,0) $$
Allo stesso risultato arrivo se i due numeri immaginari sono scritti in forma algebrica
$$ 2i \cdot 3i = 6i^2 = 6 \cdot (-1) = -6 $$
Il risultato è sempre il numero reale (-6,0)=-6.
Nota. Quando i numeri immaginari sono scritti nella forma cartesiana (0,b) la moltiplicazione va eseguita con la regola del prodotto dei numeri complessi. $$ (a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc) $$ Viceversa quando i numeri immaginari sono scritti in forma algebrica tramite il semplice prodotto algebrico tra monomi. $$ ai \cdot ci = a \cdot c \cdot i^2 = a \cdot c \cdot (-1) = -ac$$
E così via.
