La relazione tra il lato del quadrato e il raggio del cerchio inscritto
Il lato del quadrato è congruente al doppio del raggio (diametro) del cerchio inscritto. $$ l = 2r $$ 
Come corollario deduco che il raggio del cerchio inscritto è uguale alla metà del lato del quadrato.
$$ r = \frac{l}{2} $$
Il che è abbastanza ovvio ma vale la pena scriverlo.
La dimostrazione della congruenza tra il diametro del cerchio inscritto in un quadrato e il lato del quadrato stesso è abbastanza ovvia perché si basa su considerazioni geometriche piuttosto semplici.
Dimostrazione
Considero un quadrato ABCD e un cerchio inscritto.
In un quadrato, il centro O del cerchio inscritto coincide con il centro del quadrato.
Chiamo questo centro \(O\) e il raggio del cerchio \(r\).
Il cerchio inscritto nel quadrato tocca tutti i lati del quadrato in esattamente un punto di tangenza per lato: \(P\), \(Q\), \(R\), e \(S\).
Essendo dei punti di tangenza, i raggi OP, OQ, OR, OS sono perpendicolari ai lati del quadrato ossia formano un angolo retto (90°).
Traccio le due diagonali del quadrato.
In un quadrato le diagonali sono congruenti e si bisecano a vicenda.
Il centro del cerchio O inscritto si trova all'incrocio delle diagonali del quadrato, che è anche il centro del quadrato stesso.
Le diagonali dividono il quadrato in otto triangoli AOP, AOS, BOP, BOQ, COQ, COR, DOR, DOS
Questi otto triangoli sono:
- triangoli rettangoli perché i raggi OP, OQ, OR, QS sono segmenti perpendicolari (90°) ai lati del quadrato.
- triangoli isosceli perché hanno due angoli congruenti (45°). Quindi, hanno i lati obliqui congruenti.
Nota. L'angolo al centro O (360°) è suddiviso in otto angoli congruenti da 45°. Inoltre le diagonali bisecano ogni angolo retto (90°) del quadrato in due angoli congruenti di 45°.
- triangoli congruenti perché, in base al primo criterio di congruenza dei triangoli, hanno i lati obliqui congruenti (raggio e metà del lato del quadrato) e l'angolo tra di essi congruente (90°).
Essendo congruenti, considero solo un triangolo per tutti. Ad esempio, il triangolo AOP.
Riepilogando, il triangolo AOP è un triangolo isoscele, pertanto ha i lati obliqui AP≅OP congruenti.
$$ \overline{AP} = \overline{OP} $$
Il segmento OP=r è il raggio del cerchio inscritto.
$$ \overline{AP} = r $$
Il segmento AP è la metà del lato L del quadrato.
$$ \frac{L}{2} = r $$
Moltiplico entrambi i membri dell'equazione per due e semplifico.
$$ \frac{L}{2} \cdot 2 = r \cdot 2 $$
$$ L = 2r $$
Questo dimostra che il diametro del cerchio inscritto \(2r\) è congruente alla lunghezza del lato del quadrato \(L\).
E così via.
