La relazione tra il lato del quadrato e il raggio del cerchio circoscritto
Esiste una stretta relazione tra il lato di un quadrato e il raggio di un cerchio circoscritto che passa per tutti i vertici del quadrato:
- Il lato del quadrato è uguale al raggio della circonferenza circoscritta moltiplicato per la radice quadrata di due. $$ l = r \cdot \sqrt{2} $$
- Il lato del quadrato è uguale al doppio del raggio 2r (ovvero alla diagonale) della circonferenza circoscritta diviso per la radice quadrata di due. $$ l = \frac{2r}{\sqrt{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} $$
Un esempio pratico
Questo quadrato ha i lati di lunghezza 3 e il raggio della circonferenza circoscritta pari a r=2.1213
Verifico la relazione tra il lato del quadrato e il raggio della circonferenza circoscritta al quadrato tramite la prima formula:
$$ l = r \cdot \sqrt{2} $$
$$ 3 = 2.1213 \cdot \sqrt{2} = 3 $$
L'identità è confermata.
Ora verifico la stessa relazione usando la seconda formula:
$$ l = \frac{2r}{\sqrt{2}} $$
$$ l = \frac{2 \cdot 2.1213}{\sqrt{2}} = 3 $$
Anche in questo caso l'identità è confermata.
La dimostrazione
Divido la dimostrazione in due parti, una per ciascuna formula
1] Prima formula
Considero un quadrato e una circonferenza circoscritta.
I raggi della circonferenza che collegano il centro della circonferenza (O) con gli estremi di un lato del quadrato formano un triangolo rettangolo in cui il lato del quadrato è l'ipotenusa, mentre i raggi sono i cateti.
Usando il teorema di Pitagora, calcolo l'ipotenusa conoscendo i cateti.
$$ l = \sqrt{r^2+r^2} $$
$$ l = \sqrt{2r^2} $$
$$ l = r \cdot \sqrt{2} $$
La prima formula è dimostrata.
2] La seconda formula
La diagonale del quadrato si ottiene dal prodotto del lato del quadrato per la radice quadrata di due.
$$ d = l \cdot \sqrt{2} $$
Sapendo che la diagonale è uguale al doppio del raggio d=2r
$$ 2r = l \cdot \sqrt{2} $$
Quindi, ricavo la lunghezza del lato a partire dal raggio
$$ l = \frac{2r}{\sqrt{2}} $$
Quindi, la lunghezza del lato del quadrato (l) è uguale al raggio (r) del cerchio circoscritto moltiplicato per due e diviso per la radice quadrata di due.
Dimostrazione alternativa. Quest'ultima formula si può ottenere anche da una semplice operazione algebrica sulla formula che mette in relazione il lato e il raggio. $$ l = r \cdot \sqrt{2} $$ Basta moltiplicare e dividere per la radice quadrata di due. $$ l = r \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } $$ $$ l = \frac{ r \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } $$ $$ l = \frac{ r \cdot 2 }{ \sqrt{2} } $$
E così via.
