Il piano inclinato
La forza di gravità agisce su un corpo posto in un piano inclinato senza attrito facendolo accelerare lungo il piano.
Per semplicità, immagino un corpo simile a un punto materiale di massa m, senza tenere conto di altri aspetti come la forma, le dimensioni, il volume, ecc.
Il piano ha un angolo di inclinazione $ α $.
Secondo la legge di Newton l'equazione \( P = R + ma \) collega il peso del corpo (P), la reazione vincolare del piano (R), la massa (m) e l'accelerazione (a) del corpo.
$$ P = R + ma $$
Scompongo le forze nelle due direzioni: ortogonale (x) e parallela (y) al piano inclinato, sapendo che il peso P=mg è il prodotto per la massa e la gravità.
Nella direzione ortogonale (x) la componente del peso è Px=mg·cos(α) mentre la reazione vincolare R del piano incolinato agisce in direzione opposta.
Nella direzione parallela al piano inclinato (y) la componente del peso è Py=mg·sin(α).
$$ \begin{cases} x: \ \ mg \cdot \cos ( \alpha ) = R \\ \\ y: \ \ mg \cdot \sin ( \alpha ) = ma \end{cases} $$
Da notare che l'angolo dell'inclinazione tra le direzioni x e y è congruente con l'angolo di inclinazione del piano perché entrambi gli angoli sono complementari.
Per semplicità indico momentaneamente l'angolo tra i lati x e y come α'. Gli angoli α'+β=90° sono complementari perché formano un angolo retto tra i lati x e y. $$ \alpha' + \beta = 90° $$ Anche gli angoli interni al triangolo rettangolo α e β sono complementari, perché in un triangolo la somma degli angoli interni è sempre 180° $$ \alpha + \beta +90° = 180° $$ $$ \alpha + \beta = 180°-90° $$ $$ \alpha + \beta = 90° $$ Questo prova che gli angoli α'≅α sono congruenti.
Semplifico il sistema di equazioni
$$ \require{cancel} \begin{cases} x: \ \ mg \cdot \cos ( \alpha ) = R \\ \\ y: \ \ \cancel{m}g \cdot \sin ( \alpha ) = \cancel{m} a \end{cases} $$
La prima equazione mi permette di ottenere la reazione vincolare R=mg·cos(α) del piano inclinato.
La seconda equazione, invece, calcola l'accelerazione a=g·sin(α).
$$ \begin{cases} x: \ \ mg \cdot \cos ( \alpha ) = R \\ \\ y: \ \ g \cdot \sin ( \alpha ) = a \end{cases} $$
Se non c'è attrito, l'accelerazione del corpo è \( g \sin(\alpha) \), dove \( g \) è l'accelerazione di gravità e \( \alpha \) è l'angolo di inclinazione del piano.
Questo mi fa capire che il corpo scende lungo il piano inclinato con un moto uniformemente accelerato e che l'accelerazione è minore della gravità (a<g).
Spiegazione. Sapendo che sin(α) è un valore minore o uguale a 1, deduco l'accelerazione del corpo è inferiore alla forza di gravita (a<g) poiché a=g·sin(α)≤g. $$ a = g \cdot \sin( \alpha ) \le g $$
In presenza di attrito statico (\( \mu_s \)) il corpo non si muove a meno che la componente della forza di gravità lungo il piano non superi la forza di attrito.
L'equazione modificata per l'accelerazione, tenendo conto anche dell'attrito statico, diventa \( a = g(\sin(\alpha) - \mu_s \cos(\alpha)) \).
Infine, se il corpo è inizialmente in movimento, il coefficiente di attrito cinetico (\( \mu_k \)) determina l'accelerazione.
Riassumendo, se l'inclinazione del piano è abbastanza ripida o se l'attrito è sufficientemente basso, il corpo scivolerà lungo il piano. Se invece l'inclinazione non è abbastanza ripida o l'attrito è alto, il corpo resterà fermo.
E così via.
