Centro di massa
Il centro di massa è il punto in cui si può considerare concentrata tutta la massa di un corpo o di un sistema di corpi per studiarne il moto o l'equilibrio delle forze in fisica.
È un concetto astratto ma molto utile in meccanica, perché riduce la complessità di un oggetto reale a un punto fittizio, ma rappresentativo, semplificando l'analisi.
Il centro di massa si muove come se tutta la massa del sistema fosse concentrata in un punto e su questo agisse la risultante delle forze esterne.
Ad esempio, nella dinamica dei sistemi posso studiare il moto traslazionale del corpo come se fosse un solo punto (il centro di massa), semplificando i calcoli.
Dove si trova?
Il centro di massa dipende da come è distribuita la massa all'interno del corpo. In genere è il baricentro.
Nel caso più semplice, la sua posizione è data da:
$$ \vec{R}_{cm} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i }{ \sum_{i=1}^{n} m_i } $$
Dove $m_i$ è la massa di un punto del corpo, $\vec{r}_i$ è la posizione del punto e $\vec{R}_{cm}$ è la posizione del centro di massa
Un esempio pratico
Considero una cassa di 10 kg su una rampa inclinata.
Sulla cassa agiscono diverse forze, ad esempio la forza peso, la reazione vincolare del piano, l'attrito ecc.
Per semplificare l'analisi, prendo come centro di bassa il baricentro $ C $ della figura geometrica e faccio finta che tutte le forze siano applicate su questo punto.
In questo modo il calcolo vettoriale delle forze è più immediato.
Nota. Questo è possibile se accetto l'ipotesi che la massa della cassa (10 kg) sia equamente distribuita in tutto il corpo. Se così non fosse, dovrei calcolare la posizione del centro di massa ponderando la posizione di ogni punto con la relativa massa.
Esempio 2
Una massa da 2 kg si trova a 0 m e una da 3 kg a 4 m su un'asta orizzontale.
In questo caso ci sono due masse, $m_1 = 2 \ kg$ e $m_2 = 3 \ kg$, poste lungo un asse orizzontale a distanze $x_1=0 \ m$ e $x_2=4 \ m$ dall’origine.
Il centro di massa si calcola così:
$$ x_{cm} = \frac{ m_1 x_1 + m_2 x_2 }{ m_1 + m_2 } $$
$$ x_{cm} = \frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 4}{2 + 3} = \frac{12}{5} = 2.4 \, \text{m}
$$
Quindi il centro di massa è più vicino alla massa maggiore, come ci si aspetta intuitivamente.
In questo modo, posso studiare il moto di traslazione di questo sistema di corpi come se fosse un unico punto materiale.
E così via.
