Le successioni
Una successione è una funzione che associa a ogni numero naturale $ n $ un numero reale $ a_n $. $$ n \mapsto a_n $$ In modo equivalente, può essere considerata come una lista ordinata di elementi $ a_1, a_2, \dots, a_n $, detti termini della successione. $$ \{ a_n \} = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n) $$ Qui $ n $ indica l'indice, mentre $ a_n $ è l'n-esimo termine della successione.
Una successione è una funzione f nel dominio dei numeri naturali (N) e codominio nei numeri reali (R) o naturali (N) .
$$ a: N \rightarrow R$$
Una successione può essere composta da un numero finito o infinito di termini.
$$ \{ a_n \} = a_1, a_2, a_3, ... , a_n $$
Il termine an indica il termine ennesimo o termine generico della successione. Si legge "a con n".
A ogni termine della successione a1, a2, a3,... è associata un'etichetta posta pedice in basso a destra rispetto alla lettera che indica la posizione dell'elemento nell'indice (lista).
Il termine a1 è il primo termine della successione, il termine a2 è il secondo termine e via dicendo
Nota. Le etichette dei termini della successione sono ordinate in senso crescente. Generalmente una successione comincia da n=1 oppure n=0. Tuttavia, posso anche definire un elemento iniziale n>1 maggiore di uno.
Un esempio di successione
Esempio 1
La successione 2n è la seguente:
$$ a_n= 2n$$
I primi termini della successione sono
$$ a_1 = 2 \cdot 1 = 2 \\ a_2 = 2 \cdot 2 = 4 \\ a_3 = 2 \cdot 3 = 6 \\ a_4 = 2 \cdot 4 = 8 \\ \vdots $$
Quindi, la successione è
$$ \{ 2n \} = \ 2 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 8 \ , \ \dots $$
Esempio 2
La successione n2 è la seguente:
$$ a_n= n^2 $$
I primi termini della successione sono
$$ a_1 = 1^2 = 1 \\ a_2 = 2^2 = 4 \\ a_3 =3^2 = 9 \\ a_4 = 4^2 = 16 \\ \vdots $$
Quindi, la successione è
$$ \{ n^2 \} = \ 1 \ , \ 4 \ , \ 9 \ , \ 16 \ , \ \dots $$
Esempio 3
La successione 1/n è la seguente:
$$ a_n= \frac{1}{n}$$
I primi termini della successione sono
$$ a_1 = \frac{1}{1} = 1 \\ a_2 = \frac{1}{2} \\ a_3 = \frac{1}{3} \\ a_4 = \frac{1}{4} \\ \vdots $$
Quindi, la successione è
$$ \{ \frac{1}{n} \} = \ 1 \ , \ \frac{1}{2} \ , \ \frac{1}{3} \ , \ \frac{1}{4} \ , \ \dots $$
La rappresentazione delle successioni
Esistono diversi modi per rappresentare una successione
1] La rappresentazione per enumerazione
Una successione può essere rappresentata per enumerazione indicando i primi quattro o cinque termini della successione seguiti dai puntini.
$$ 2 \ , \ 4 \ , \ 9 \ , \ 16 \ \dots $$
La posizione dei termini nella lista indica l'indice della successione.
Nella successione precedente 2 è il primo termine della successione, 4 è il secondo termine e via dicendo.
Nota. Essendo i numeri naturali infiniti è impossibile descrivere tutti i termini della successione. Spesso i primi termini sono sufficienti per dedurre tutti gli altri termini successivi.
La rappresentazione per enumerazione è semplice ma non sempre evita le ambiguità.
Ad esempio, se due successioni diverse hanno i primi 4-5 termini uguali ma i restanti differenti. Quale delle due devo scegliere?
Inoltre, i primi termini potrebbero non far intuire facilmente il termine generico della successione.
Per evitare ogni dubbio, quando possibile è sempre preferibile indicare la successione tramite la rappresentazione analitica.
2] La rappresentazione analitica
Nella rappresentazione analitica esprimo la successione tramite il suo termine generico.
$$ a_n = 2n-1 $$
In questo modo si evita ogni dubbio.
Nota. Purtroppo non sempre è facile esprimere una successione tramite il suo termine generico.
3] La rappresentazione per ricorsione
Un altro modo per rappresentare la successione è la rappresentazione ricorsiva.
In questo caso ogni termine della successione è determinato dal termine precedente per ricorsione matematica.
Nella rappresentazione ricorsiva devo indicare
- il primo termine della successione (a0)
- la relazione che lega il termine an al termine precedente an-1
Questo tipo di rappresentazione è molto utile nello studio dei sistemi complessi.
Esempio. Questa successione è rappresentata per ricorsione. $$ \begin{cases} a_0 = 1 \\ \\ a_n = a_{n-1} + 2 \cdot n \end{cases} $$ In questo caso i primi termini della successione sono $$ a_0 = 1 $$ $$ a_1 = a_0 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 \cdot 1 = 3 $$ $$ a_2 = a_1 + 2 \cdot 2 = 3 + 2 \cdot 2 = 7 $$ $$ a_3 = a_2 + 2 \cdot 3 = 7 + 2 \cdot 3 = 13 $$ Quindi i primi termini della successione sono $$ 1 \ , \ 3 \ , \ 7 \ , \ 13 \ , \ \dots $$
Le operazioni tra le successioni
Le operazioni tra successioni sono operazioni definite termine a termine, cioè si ottengono combinando tra loro gli elementi con lo stesso indice delle due successioni.
Se prendo due successioni:
\[ (a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots) \]
\[ (b_0, b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots) \]
Ogni operazione tra le due successioni produce una nuova successione, costruita applicando l’operazione scelta ai termini corrispondenti.
- Addizione
La somma di due successioni è definita come: \[ (a_0 + b_0, a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n, \ldots) \] Ogni termine della nuova successione è la somma dei termini con lo stesso indice.Ad esempio, considero due successioni \[ a_n = n \] \[ b_n = 2n \] La somma dei termini generali è \[ a_n + b_n = n + 2n = 3n \] Quindi, la successione somma è \[ \{ a_n + b_n \} = \{ 3n \} = (0, 3, 6, 9, 12, \ldots) \]
- Sottrazione
La differenza tra due successioni è: \[ (a_0 - b_0, a_1 - b_1, a_2 - b_2, \ldots, a_n - b_n, \ldots) \] Ogni termine è la differenza tra i corrispondenti elementi.Ad esempio, con le stesse successioni \( a_n = n \) e \( b_n = 2n \) la differenza dei termini corrispondenti è: \[ a_n - b_n = n - 2n = -n \] Pertanto, la successione differenza è \[ \{ a_n - b_n \} = \{ -n \} = (0, -1, -2, -3, -4, \ldots) \]
- Moltiplicazione
Il prodotto di due successioni è: \[ (a_0 \cdot b_0, a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \ldots, a_n \cdot b_n, \ldots) \] Si moltiplicano i termini con lo stesso indice.Ad esempio, sempre con le stesse successioni \( a_n = n \) e \( b_n = 2n \) il prodotto dei termini corrispondenti è: \[ a_n \cdot b_n = n \cdot 2n = 2n^2 \] Di conseguenza, la successione prodotto è \[ \{ a_n \cdot b_n \} = \{ 2n^2 \} = (0, 2, 8, 18, 32, \ldots) \]
- Divisione
Se ( b_n \neq 0 ) per ogni ( n ), il quoziente tra le due successioni è: \[ \left(\frac{a_0}{b_0}, \frac{a_1}{b_1}, \frac{a_2}{b_2}, \ldots,; \frac{a_n}{b_n}, \ldots \right) \] La divisione è definita solo se nessun termine della seconda successione è nullo.Ad esempio, considerando le stesse successioni \( a_n = n \) e \( b_n = 2n \) la divisione dei termini ennesimi corrispondenti è \[ \frac{a_n}{b_n} = \frac{n}{2n} = \frac{1}{2} \quad \ se \ \ n \neq 0 \] Pertanto, la successione quoziente è: \[ \{ \frac{a_n}{b_n} \} = \{ \frac{n}{2n} \} = \left( \text{non definito}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \ldots \right) \] In questo caso il primo termine non è definito perché il denominatore è nullo \( b_0 = 0 \).
Le operazioni tra successioni mantengono la struttura discreta: ogni posizione \( n \) viene trattata indipendentemente.
Questo approccio è fondamentale nello studio dei limiti e delle proprietà asintotiche, perché consente di analizzare il comportamento delle successioni tramite operazioni elementari.
Successioni e prodotto cartesiano
Una successione ha il dominio nei numeri naturali N (o sottoinsieme di N) e il codominio S nei numeri naturali o reali. Pertanto, una successione è uguale al prodotto cartesiano NxS. $$ (n, a_n ) $$
Il primo elemento (n) della coppia è l'etichetta che indica la posizione dell'elemento nella successione.
Il secondo elemento (an) è il valore del termine n-esimo della successione.
Esempio
La successione {an} = 2n è la seguente:
$$ a_1 = 2 \\ a_2 = 4 \\ a_3=6 \\ a_4 = 8 $$
Il prodotto cartesiano (n, an) è il seguente:
$$ ( 1, 2 ) \\ ( 2,4) \\ (3,6) \\ (4,8) $$
La rappresentazione sul diagramma cartesiano rende tutto più chiaro
La differenza tra insieme e successione
In una successione l'ordine degli elementi è importante mentre in un insieme no.
Esempio
L'insieme A e B sono uguali, perché in un insieme la disposizione degli elementi non è significativa.
$$ A = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$
$$ B = \{ 3, 1, 4, 2 \} $$
Viceversa, le successioni {a} e {b} sono diverse.
$$ \{a\} = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$
$$ \{b\} = = \{ 3, 1, 4, 2 \} $$
Cosa sono le stringhe
Una successione con un numero finito di elementi è detta stringa.
Il numero degli elementi è detto lunghezza della stringa.
Esempio
Se n=4 la successione {an}=2n è detta stringa
$$ a_1, a_2, a_3, a_4 = 2, 4, 6, 8 $$
La lunghezza della stringa è uguale a 4.
E così via.
