Divisione tra numeri immaginari
La divisione di due numeri immaginari è un numero reale. $$ (0,a) : (0,b) = (0,a:b) $$ Se scrivo i due numeri in forma algebrica (0,b)=bi e (0,a)=ai $$ ai : bi = a : b $$ Dove i=(0,1) è l'unità immaginaria.
La dimostrazione
Considero due numeri immaginari qualsiasi
$$ z_1 = (0,a)=ai $$ $$ z_2 = (0,b)=bi $$
La divisione tra i due numeri immaginari nella forma cartesiana (0,a) e (0,b) si calcola seguendo la regola della divisione dei numeri complessi
$$ z_1 : z_2 = (0,a) : (0,b) $$
$$ z_1 : z_2 = \frac{0 \cdot 0 + a \cdot b}{0^2+b^2} + \frac{0 \cdot a - 0 \cdot b}{0^2+b^2} \cdot i $$
$$ z_1 : z_2 = \frac{0 + ab}{b^2} + \frac{0 - 0}{b^2} \cdot i $$
$$ z_1 : z_2 = \frac{ab}{b^2}$$
Semplifico dividendo b al numeratore e al denominatore
$$ z_1 : z_2 = \frac{a}{b} $$
Quindi, il risultato è il numero reale a:b
Calcolando la divisione dei numeri immaginari in forma algebrica ottengo lo stesso risultato
$$ z_1 : z_2 = a i : b i $$
Riscrivo la divisione sotto forma di frazione.
$$ z_1 : z_2 = \frac{ai}{bi} $$
Semplifico l'unità immaginaria (i) al numeratore e al denominatore.
$$ z_1 : z_2 = \frac{a}{b} $$
Nota. La divisione in forma algebrica è molto più pratica perché si calcola usando le regole algebriche dei numeri reali. Non occorre applicare la regola della divisione tra numeri complessi.
Un esempio pratico
Considero due numeri immaginari
$$ (0,6)=6i $$ $$ (0,3)=3i $$
La divisione tra i due numeri immaginari è il numero reale (2,0)
$$ (0,6) :(0,3) = \frac{0 \cdot 0 + 6 \cdot 3}{0^2+3^2} + \frac{0 \cdot 6 - 0 \cdot 3}{0^2+3^2} \cdot i $$
$$ (0,6) :(0,3) = \frac{0 + 18}{0+9} + \frac{0 - 0}{0+9} \cdot i $$
$$ (0,6) :(0,3) = \frac{18}{9} + 0 \cdot i $$
$$ (0,6) :(0,3) = 2 $$
Nota. Scrivere 2 oppure (2,0) è sempre la stessa cosa perché la parte immaginaria del numero complesso è nulla. Quindi, ciò che resta è solo la parte reale. Si tratta del numero reale 2.
Allo stesso risultato arrivo se i due numeri immaginari sono scritti in forma algebrica
$$ 6i : 3i = \frac{6i}{3i} $$
$$ 6i : 3i = \frac{6}{3} $$
$$ 6i : 3i = 2 $$
Il risultato è sempre il numero reale (2,0)=2.
Nota. Quando i numeri immaginari sono scritti in forma cartesiana (0,b) la divisione va calcolata tramite la regola della divisione dei numeri complessi. $$ (a,b) : (c,d) = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{cb-ad}{c^2+d^2} $$ Viceversa quando i numeri immaginari sono scritti in forma algebrica tramite una semplice divisione tra numeri reali perché l'unità immaginaria si semplifica. $$ ai : ci = \frac{ai}{bi} = \frac{a}{b} $$ Quindi, la divisione tra i numeri immaginari scritti in forma algebrica è molto più semplice e rapida.
E così via.
